XLI OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Rozstrzygnąć, czy istnieje taki wielomian $W(x)$ o współczynnikach wymiernych, że dla każdego całkowitego $k$ wartość $W(3k+1)$ jest liczbą całkowitą nieparzystą, a $W(3k+2)$ — liczbą całkowitą parzystą.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że

$ W(x)=\sum_{j=0}^n a_j x^j $

jest wielomianem, o jakim mowa w zadaniu. Zgodnie z postawionym warunkiem, każdy ze współczynników $a_j$ jest liczbą wymierną:

$ a_j = \frac{p_j}{q_j} \quad (p_j, q_j \ \textrm{całkowite}, q > 0). $

Mianownik $q_j$ zapiszmy w postaci

$ q_j=2^{\alpha_j} m_j \left( \begin{array}{rl} \alpha \geq 0 & \textrm{całkowite}, \\ m_j > 0 & \textrm{całkowite meparzyste}. \end{array} \right) $

Przyjmijmy $m = m_0 m_1 \ldots m_n$ oraz ustalmy liczbę naturalną $\alpha$ większą od wszystkich wykładników $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ . Weźmy pod uwagę liczbę

$ M = m \cdot (W(2^{\alpha+1}) - W(2^\alpha)). $

Dokładnie jedna spośród liczb $2^\alpha, 2^{\alpha+1}$ daje przy dzieleniu przez $3$ resztę $1$ , druga zaś - resztę $2$ . W myśl warunku zadania, wartości $W(2^\alpha)$ , $W(2^{\alpha+1})$ są więc liczbami całkowitymi różnej parzystości. Wobec tego $M$ jest liczbą całkowitą nieparzystą.

Zachodzi wszelako równość

$ \begin{split} M & = m \cdot \sum_{j=0}^n \frac{p_j}{m_j} 2^{-\alpha_j} ((2^{\alpha+1})^j-(2^\alpha)^j) =\\ & = \sum_{j=0}^n p_j \cdot \frac{m}{m_j} (2^{j\alpha+j}-\alpha_j - 2^{j\alpha-\alpha_j}) \end{split} $

Dla $j = 0$ wyrażenie w ostatnim nawiasie jest zerem; dla $j > 0$ wyrażenie to jest różnicą dwóch potęg dwójki o wykładnikach całkowitych dodatnich, a więc różnicą liczb parzystych. Czynniki $p_j$ oraz $m/m_j$ są całkowite. Wynikałoby stąd, że $M$ jest liczbą parzystą - wbrew temu, co wykazaliśmy chwilę wcześniej.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wielomian o podanych własnościach nie istnieje.