LIX OM - I -Zadanie 8

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Dany jest ostrosłup czworokątny $ABCDS$ o podstawie czworokąta wypukłego $ABCD$ . Sfera wpisana w ten
ostrosłup jest styczna do ściany $ABCD$ w punkcie $P$ . Dowieść, że

$ \measuredangle APB + \measuredangle CPD = 180^{\circ}. $

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy przez $K, L, M, N$ punkty styczności rozpatrywanej sfery odpowiednio ze ścianami
$SDA, SAB, SBC, SCD$ . Niech ponadto $K', L', M', N'$ będą odpowiednio punktami przecięcia prostych
$SK, SL, SM, SN$ z płaszczyzną $ABCD$ .

Z równości $KS = SL$ oraz $AK = AL$ wynika, że trójkąty $AKS$ i $ALS$ są przystające. A zatem

$ (1)\qquad \measuredangle AKK' = 180^{\circ} -\measuredangle AKS = 180^{\circ} -\measuredangle ALS = \measuredangle ALL' . $

Z kolei z równości $K'K = K'P$ oraz $AK = AP$ wynika, że trójkąty $AKK'$ oraz $APK$ są przystające.
Wobec tego $\measuredangle AKK' = \measuredangle APK'$ . Analogicznie dowodzimy, że $\measuredangle ALL' = \measuredangle APL'$ .

Łącząc ostatnie dwie równości z zależnością (1) uzyskujemy

$ \measuredangle APK' = \measuredangle APL' = \alpha. $

Rozumując podobnie dostajemy (rys. 2)

$ \measuredangle BPL' = \measuredangle BPM' = \beta,\quad \measuredangle CPM' = \measuredangle CPN' = \gamma, \quad \measuredangle DPN' = \measuredangle DPK' = \delta. $

Wobec tego

$ 2\alpha +2\beta +2\gamma +2\delta = \measuredangle K'PL' +\measuredangle L'PM' +\measuredangle M'PN' +\measuredangle N'PK' = 360^{\circ}, $

czyli $\alpha+\beta +\gamma +\delta = 180^{\circ}$ . Pozostało zauważyć, że

$ \measuredangle APB +\measuredangle CPD =(\alpha +\beta )+(\gamma + \delta) = 180^{\circ}, $

co kończy rozwiązanie zadania.

Sposób II

Poprowadźmy przez punkt $S$ wszystkie proste, które są styczne do danej sfery $s$ . Proste te wyznaczają
stożek $t$ , w który wpisana jest sfera $s$ . Część wspólna stożka $t$ oraz płaszczyzny $ABCD$ jest elipsą
$e$ wpisaną w czworokąt $ABCD$ , której jednym z ognisk jest punkt $P$ (zob. Szkoła geometrii. Odczyty
kaliskie — praca zbiorowa, Warszawa 1993).

Oznaczmy przez $K, L, M, N$ punkty styczności elipsy $e$ odpowiednio z bokami $DA, AB, BC, CD$ (rys. 3).
Wówczas (zob. LI Olimpiada Matematyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2001, Dodatek B, str. 107, twierdzenie 3) otrzymujemy zależności

$ \measuredangle APK = \measuredangle APL, \quad \measuredangle BPL = \measuredangle BPM, \quad \measuredangle CPM = \measuredangle CPN, \quad \measuredangle DPN = \measuredangle DPK, $

z których analogicznie jak w sposobie I wynika teza zadania.