XL OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ znaleźć liczbę rozwiązań równania

$ x^2 - [x^2] = (x - [x])^2 $

spełniających warunek $1 \leq x \leq n$ .
Uwaga. $[t]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $t$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę podanego równania przez $L(x)$ i $P(x)$ . Przedstawiając liczbę rzeczywistą $x$ w postaci $x = k + r$ , gdzie $k = [x]$ , $r = x - [x] \in\langle 0; 1)$ , możemy napisać:

$ \begin{split} L(x) &= k^2 + 2kr + r^2 - [k^2 + 2kr + r^2] =\\ &= 2kr + r^2 - [2kr + r^2] ,\\ P(x) &= r^2. \end{split} $

Zatem $L(x) = P(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $[2kr + r^2] = 2kr$ . Ta zaś równość jest równoważna stwierdzeniu, że $2kr$ jest liczbą całkowitą. Stąd wniosek, że liczba $x = k + r$ ( $k$ całkowite, $r \in \langle 0; 1)$ ) spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (1) \qquad k \in \{1,\ldots , n - 1\} , \quad 2kr\ \textrm{całkowite} $

lub

$ (2) \qquad k = n, \quad r = 0. $

Dla ustalonej wartości $k \in \{1,\ldots, n-1\}$ istnieje $2k$ wartości $r \in \rangle 0; 1)$ , dla których $2kr$ jest całkowite (mianowicie ułamki $j/(2k)$ , $j = 0,1,\ldots, 2k-1$ ). Wobec tego liczba par $(k, r)$ spełniających warunki (1) wynosi $2 + 4 + \ldots + +2(n -1) = n^2 - n$ . Warunki (2) spełnia tylko jedna taka para. Wszystkich liczb $x$ spełniających warunki zadania jest więc $n^2 - n + 1$ .