XL OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Trójkąty $ABC$ i $ABC'$ mają równo obwody, a dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $C$ i $C'$ przecinają się w punkcie $O$ . Dowieść, że kąty $AOC$ i $BOC'$ są równe.

Rozwiązanie

Sumy $|AC| + |BC|$ i $|AC'| + |BC'|$ są równe; oznaczmy ich wspólną wartość przez $s$ . Na przedłużeniach odcinków $AC$ i $BC$ odkładamy odcinki $CD$ i $CE$ tak, by

$ (1) \qquad |AD| = |BE| = s. $

Trójkąty $BCD$ i $AC'E$ są równoramienne, a punkt $O$ leży na osi symetrii każdego z nich (rysunek 1). Zatem

$ (2) \qquad |OB| = |OD|, \quad |OA| = |OE| $

oraz

$ (4) \qquad |\measuredangle AOC| + |\measuredangle BOC| = |\measuredangle BOC'| + |\measuredangle AOC'|. $

Wykażemy teraz, że

$ (5) \qquad \textrm{punkty $A$ i $B$ leżą w obszarze kąta wypukłego $COC'$}. $

Weźmy pod uwagę zbiór $\mathcal{E}$ złożony z wszystkich punktów, których suma odległości od $A$ i $B$ równa się $s$ . Jest to elipsa. Warunek, który ją określa, jest spełniony w szczególności przez punkty $C$ i $C'$ . Zatem $C,C' \in \mathcal{E}$ .

Zauważmy, że proste $OC$ i $OC'$ są styczne do elipsy $\mathcal{E}$ . Gdyby na przykład prosta $OC$ nie była do niej Styczna, wówczas moglibyśmy znaleźć na tej prostej punkt $Y$ taki, że $|AY| + |BY| <s$ . Ale $|BY| = |DY|$ (bo $OC$ jest symetralną odcinka $BD$ ). Otrzymalibyśmy więc nierówność $|AY| + |DY| < s = |AD|$ , która jest niemożliwa.

Podobnie dowodzimy styczności prostej $OC'$ do elipsy $\mathcal{E}$ .

Ogniskami $\mathcal{E}$ są punkty $A$ i $B$ . Z uzyskanych relacji styczności wynika, że cała elipsa $\mathcal{E}$ leży w sektorze wyznaczonym przez półproste $OC^\to$ i $OC'^\to$ . Znajdują się tam więc i punkty $A$ i $B$ . Stąd słuszność stwierdzenia (5).

Konkluzją tego stwierdzenia jest równość

$ (6) \qquad |\measuredangle AOC| + |\measuredangle AOC'| = |\measuredangle BOC| + |\measuredangle BOC'|. $

Wszystkie przeprowadzone rozważania są słuszne przy każdej konfiguracji danych punktów. (Na przykład: punkty $C$ i $C'$ mogą leżeć po tej samej stronie lub po różnych stronach prostej $AB$ . Gdy leżą po tej samej stronie, odcinki $AC$ i $BC$ mogą się przecinać, mogą być równoległe, bądź też przecinają się ich przedłużenia, przy czym punkt przecięcia tych prostych może leżeć ,,nad'' lub ,,pod'' prostą $AB$ . Gdy punkty $C$ i $C'$ leżą po różnych stronach prostej $AB$ , powstaje czworokąt $ACBC'$ , który może być wypukły, wklęsły, a może też się redukować do trójkąta. Rysunek 1 przedstawia tylko jedno z możliwych usytuowań tych punktów. Proponujemy Czytelnikowi wykonanie rysunków w innych przypadkach i przekonanie się, że istotnie rozumowanie prowadzące do równości (4) oraz (6) nie jest od rysunku zależne.)

Dodając stronami równości (4) i (6) otrzymujemy (po redukcji) dowodzoną równość $|\measuredangle AOC| = |\measuredangle BOC'|$ .