XL OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Dowieść, że nie można tak pociąć kwadratu wzdłuż skończonej liczby odcinków i łuków okręgów, by z otrzymanych części można było złożyć koło (części można odwracać).

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że podział, o jakim mowa w zadaniu, jest wykonalny. Otrzymane w jego wyniku części kwadratu oznaczmy przez $K_1,\ldots, K_n$ . Brzeg każdej figury $K_i$ składa się ze skończonej liczby odcinków oraz łuków okręgów. Spośród łuków okręgów będących fragmentami brzegu $K_i$ niektóre są zwrócone wypukłością na zewnątrz $K_i$ , inne są zwrócone wypukłością do wewnątrz $K_i$ . Sumę długości tych pierwszych łuków oznaczmy przez $a_i$ , a tych drugich - przez $b_i$ . Przyjmijmy $d_i = a_i - b_i$ .

Weźmy pod uwagę sumę $s = d_1 + \ldots + d_n$ .

Figury $K_i$ powstały z podziału kwadratu. Brzeg kwadratu składa się z odcinków linii prostych. Zatem każdy fragment okręgu będący linią podziału kwadratu jest jednocześnie podzbiorem brzegu dwóch figur $K_i$ , przy czym w jednej z tych figur jego długość wchodzi do sumy $s$ ze znakiem plus, a w drugiej --- ze znakiem minus. Tak więc $s = 0$ .

Założyliśmy, że z figur $K_i$ można złożyć koło. Niektóre z rozważanych łuków muszą być wtedy zużyte na utworzenie brzegu tego koła. Przy obliczaniu sumy $s$ długości tych łuków będą liczone jednokrotnie, stale ze znakiem plus. Natomiast długości pozostałych łuków okręgów, tworzących linie podziału koła, ulegną redukcji, jak w przypadku kwadratu. Suma $s$ będzie więc równa obwodowi koła.

Otrzymana sprzeczność ( $s = 0$ i jednocześnie $s > 0$ ) kończy dowód.