XL OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Obliczyć sumę szeregu $\sum_{n\in A}\frac{1}{2^n}$ , w którym sumowanie przebiega zbiór $A$ wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 2, 3, 5.

Rozwiązanie

Liczba naturalna $n$ jest niepodzielna przez $2$ , $3$ i $5$ wtedy i tylko wtedy, gdy przy dzieleniu przez 30 daje jedną z następujących ośmiu reszt:

$ r_1 = 1,\ r_2 = 7 , r_3 = 11, r_4 = 13 , r_5 = 17 , r_6 = 19 , r_7 = 23 , r_8 = 29 . $

Wobec tego suma, którą mamy obliczyć, równa się

$ (1) \qquad s = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 + s_8 , $

gdzie $s_i$ oznacza sumę analogicznego szeregu utworzonego ze składników odpowiadających tym wartościom $n$ , które mają postać

$ n = 30k + r_i,\quad k = 0, 1, 2, 3, \ldots . $

Tak więc

$ (2) \qquad s_i=\sum_{k=0}^\infty 2^{-(30k+r_i)}\quad \textrm{dla } i=1,\ldots,8. $

(Poprawność zastosowanego przekształcenia oraz słuszność równości (1) wynika z tego, że wyrazami rozważanego szeregu są liczby dodatnie; można je więc w dowolny sposób grupować i przestawiać, bez wpływu na zbieżność i wartość sumy szeregu.)

Prawa strona wzoru (2) przedstawia szereg geometryczny o ilorazie $2^{-30}$ . Jego suma równa się

$ s_i= \frac{2^{-r_i}}{1-2^{-30}}= \frac{2^{30-r_i}}{2^{30}-1}\quad \textrm{dla } i=1,\ldots, 8. $

Podstawiamy te liczby do równości (1) i otrzymujemy

$ \frac{2^{29}+2^{23}+2^{17}+2^{11}+2^7+2^1}{2^{30}-1}=\frac{545925250}{1073741823} $

Jest to poszukiwana wartość.