XL OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

W przestrzeni dany jest skończony zbiór punktów, z których każde cztery są wierzchołkami czworościanu o objętości mniejszej lub równej 1. Udowodnić, że istnieje czworościan o objętości nie większej niż 27, zawierający wszystkie te punkty.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie czworościanem o maksymalnej objętości wśród wszystkich czworościanów, których wierzchołkami są punkty rozważanego zbioru. Oznaczmy przez $O$ jego środek ciężkości, to znaczy punkt przecięcia czterech odcinków, z których każdy łączy wierzchołek czworościanu ze środkiem ciężkości przeciwległej ściany. Wiadomo, że środek ciężkości czworościanu dzieli każdy z tych czterech odcinków w stosunku $3:1$ .

Niech $A'B'C'D'$ będzie obrazem czworościanu $ABCD$ w jednokładności o środku $O$ i skali $-3$ ( $A'$ - obraz punktu $A$ itd.). Zgodnie z uczynioną przed chwilą uwagą, środek ciężkości każdej ściany czworościanu przechodzi w tej jednokładności na przeciwległy wierzchołek.

W myśl założenia zadania, objętość czworościanu $ABCD$ nie przekracza $1$ . Zatem objętość czworościanu $A'B'C'D'$ nie przekracza $27$ (stosunek objętości brył podobnych równa się sześcianowi skali podobieństwa). Wykażemy, że czworościan $A'B'C'D'$ zawiera wszystkie rozważane punkty - jest więc poszukiwanym czworościanem.

Przypuśćmy, że pewien z tych punktów - nazwijmy go $P$ - leży poza czworościanem $A'B'C'D'$ . Każdy czworościan jest częścią wspólną czterech półprzestrzeni otrzymanych z podziału całej przestrzeni płaszczyznami ścian. Jeżeli więc punkt $P$ nie należy do $A'B'C'D'$ , to znaczy, że $P$ nie należy do jednej z tych półprzestrzeni; powiedzmy, do półprzestrzeni wyznaczonej przez płaszczyznę $A'B'C'$ . Innymi słowy, $P$ leży po przeciwnej stronie płaszczyzny $A'B'C'$ niż punkt $O$ . Ale płaszczyzna $A'B'C'$ , równoległa do ściany $ABC$ czworościanu $ABCD$ , przechodzi przez jego wierzchołek $D$ (bowiem, jak zauważyliśmy wyżej, wierzchołek $D$ jest obrazem środka ciężkości ściany $ABC$ w określonej na początku jednokładności).

Stąd wniosek, że odległość punktu $P$ od płaszczyzny $ABC$ jest większa niż odległość punktu $D$ od tej płaszczyzny. Co za tym idzie, objętość czworościanu $ABCP$ jest większa od objętości czworościanu $ABCD$ . A przecież czworościan $ABCD$ określiliśmy jako ten spośród wszystkich czworościanów o wierzchołkach w zadanych punktach, którego objętość jest maksymalna.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wszystkie punkty danego zbioru leżą w czworościanie $A'B'C'D'$ . Dowód jest zakończony.