XL OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $x$ , $y$ , $z$ spełniające równanie

$ 1 = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2} $

Rozwiązanie

Z podanego równania wynika, że jeśli $x$ , $y$ , $z$ jest rozwiązaniem, to $x, y \geq 2$ , $z \geq 3$ . Rozpatrzymy trzy przypadki:

{\em Przypadek} l. $x = 2$ . Równanie przybiera postać $3y^{-2} + 4z^{-2} =\frac{1}{2}$ , czyli równoważnie: $4y^2 + 3z^2 = \frac{1}{2} y^2z^2$ , czyli jeszcze inaczej:

$ (y^2 - 6)(z^2 - 8) = 48 \quad (y \geq 2,\ z \geq 3). $

Rozważając wszystkie możliwe rozkłady liczby $48$ na czynniki całkowite (dodatnie i ujemne) stwierdzamy, że nie ma rozwiązania w tym przypadku.
{\em Przypadek} II. $y = 2$ . Równanie przybiera postać $2x^{-2} + 4z^{-2} = \frac{1}{4}$ , czyli - analogicznie jak poprzednio -

$ (x^2 - 8)(z^2 - 16) = 128 \quad (x \geq 2,y \geq 3). $

Znów rozważamy wszystkie rozkłady liczby $128$ na czynniki i znajdujemy jedyne (w tym przypadku) rozwiązanie: $x = 3$ , $z = 12$ .

{\em Przypadek} III. $x, y \geq 3$ ; także $z \geq 3$ . Tym razem musimy zauważyć, że zachodzi nierówność

$ 2x^{-2} + 3y^{-2} + 4z^{-2} \leq \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = 1, $

przy czym staje się ona równością tylko dla $x = y = z = 3$ .

Rozważyliśmy wszystkie możliwości i znaleźliśmy dwie trójki $(x,y,z)$ liczb całkowitych będące rozwiązaniami danego równania: $(3,2,12)$ oraz $(3,3,3)$ .