XL OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Punkty $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ leżą na powierzchni sfery, przy czym odległość każdych dwóch z nich jest mniejsza od długości krawędzi czworościanu foremnego wpisanego w tę sferę. Dowieść, że wszystkie te punkty można oświetlić jednym punktowym źródłem światła umieszczonym na zewnątrz sfery.

Rozwiązanie

Niech $C_1C_2C_3C_4$ będzie dowolnym czworościanem foremnym wpisanym w daną sferę; punkt $O$ niech będzie jej środkiem, a $r$ - długością promienia. Weźmy pod uwagę wektory

$ \mathbf{u} _k = \overrightarrow{OA_k},\quad \mathbf{u} _k = \overrightarrow{OC_k} \quad (k = 1,2,3,4) $

oraz sumę

$ (1) \qquad \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3+\mathbf{u}_4=\mathbf{w}. $

Analogiczna suma utworzona dla wektorów $\mathbf{v}_k$ (wyznaczonych przez wierzchołki czworościanu foremnego i jego środek ciężkości) jest, rzecz jasna, wektorem zerowym:

$ (2) \qquad \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4= 0. $

Mnożymy skalarnie równość (1) stronami przez wektor $\mathbf{u}_1$ , a równość (2) przez $\mathbf{v}_1$ :

$ r^2 + \mathbf{u}_1 (\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3+\mathbf{u}_4) = \mathbf{u}_1 \cdot w , $

$ r^2 + \mathbf{v}_1 (\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4) = 0 . $

Odejmując otrzymane równości stronami dostajemy

$ \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{w} = \sum_{j=2}^4 (\mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_j - \mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_j). $

Zgodnie, z warunkiem zadania odległość $|A_i A_j|$ jest mniejsza od $|C_iC_j|$ dla dowolnej pary różnych wskaźników $i$ , $j$ . Wobec tego kąt między wektorami $\mathbf{u}_i$ , $\mathbf{u}_j$ jest mniejszy od kąta między wektorami $\mathbf{v}_i$ , $\mathbf{v}_j$ . To z kolei oznacza, że iloczyn skalarny $\mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j$ jest większy niż $\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_j$ dla $i \neq j$ Zatem wszystkie trzy różnice będące składnikami sumy po prawej stronie równości (3) są liczbami dodatnimi i w konsekwencji

$ \mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{w} > 0. $

Możemy teraz powtórzyć to samo rozumowanie zastępując wektor $\mathbf{u}_1$ dowolnym spośród wektorów $\mathbf{u}_2$ , $\mathbf{u}_3$ , $\mathbf{u}_4$ . Wobec tego $\mathbf{u}_k \cdot \mathbf{w} >0$ dla $k = 1,2,3,4$ . Znaczy to, że wektory $\mathbf{u}_k$ tworzą z wektorem $\mathbf{w}$ kąty ostre. Stąd wniosek, że punkty $A_k$ leżą, wszystkie po jednej stronie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $O$ i prostopadłej do wektora $\mathbf{w}$ - czyli leżą na jednej połówce rozważanej sfery. Można je więc oświetlić z punktu położonego poza tą sferą.