LIX OM - I -Zadanie 9

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą a o następującej własności:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y, z \geqslant a$ spełniających warunek $x +y + z = 3$
prawdziwa jest nierówność

$ x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3. $

Rozwiązanie

Odpowiedź: $a = -5$ .

W rozwiązaniu wykorzystamy następującą tożsamość:

$ (1)\qquad t^3 +2\cdot \left(\frac{3-t}{2}\right)^3 - 3= \frac{3(t+5)(t-1)^2}{4} . $

Przypuśćmy, że liczba $a \leqslant 1$ ma daną w treści zadania własność. Liczby
$x = a, y = z = 2\cdot (\frac{3-a}{2})$ spełniają warunki $x, y, z \geqslant a$ i $x+y+z = 3$ , zatem

$ 0\leqslant x^3 + y^3 + z^3 - 3 = a^3 +2\cdot \left(\frac{3-a}{2}\right)^3 - 3= \frac{3(a+5)(a-1)^2}{4} $

na mocy (1), skąd wynika nierówność $a \geqslant -5$ .

Wykażemy z kolei, że liczba $a = -5$ spełnia warunki zadania. W tym celu rozpatrzmy takie liczby
$x, y, z \geqslant-5$ , że $x + y + z = 3$ . Bez ograniczenia ogólności przyjmijmy, że
$x \leqslant y \leqslant z$ . Suma $y + z$ jest liczbą dodatnią, gdyż w przeciwnym razie wobec
$y\leqslant z$ mielibyśmy $x \leqslant y \leqslant 0$ , skąd wynikałoby, że $x +y + z \leqslant y + z \leqslant 0$ ,
co przeczy warunkowi $x+y+z = 3$ . Skoro zaś $y + z> 0$ , prawdziwa jest nierówność

$ y^3 + z^3 - 2\left( \frac{y+z}{2}\right)^3 = \frac{3(y^3-y^2z-yz^2+z^3)}{4} = \frac{3(y-z)^2(y+z)}{4}\geqslant 0. $

skąd na podstawie tożsamości (1) otrzymujemy ostatecznie

$ x^3 + y^3 + z^3 \geqslant x^3 + 2\left(\frac{y+z}{2}\right)^3 = x^3 +2\cdot \left(\frac{3-x}{2}\right)^3 = 3 + \frac{3(x+5)(x-1)^2}{4} \geqslant 3. $