XL OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej $k\geq l$ istnieje taka liczba rzeczywista $x$ , że przy każdym całkowitym $m \geq 1$ liczba $[x^m] + 1$ dzieli się przez $k$ .

Użyjemy tożsamości

$ (3) \qquad (k + t)^m + (k-t)^m = 2 \sum_{j=0}^{[m/2]} k^{m-2}t^{2j} , $

zachodzącej dla dowolnych liczb $k$ , $t$ , a wynikającej natychmiast z wzoru dwumianowego. Zakładamy, że $k \geq 2$ jest daną w zadaniu liczbą całkowitą i przyjmujemy $t = \sqrt{k^2 - k}$ . Wówczas $t^2 = k^2 - k > (k -1)^2$ , więc

$ (4) \qquad 0 < k - t < 1. $

Po prawej stronie wzoru (3) liczba $t$ występuje tylko w parzystych potęgach. Wobec tego prawa strona (3) przedstawia liczbę całkowitą, i to będącą wielokrotnością $k$ . Lewa strona (3) ma postać sumy, której drugi składnik jest (w myśl (4)) liczbą z przedziału $(0; 1)$ . Wynika stąd, że jej pierwszy składnik ma część całkowitą o $1$ mniejszą od liczby napisanej po prawej stronie (3):

$ [(k + t)^m] + 1 = (\textrm{prawa strona} (3)) = (\textrm{wielokrotność} k). $

Wystarczy zatem przyjąć $x = k + t = k \sqrt{k^2-k}$ , by uczynić zadość postulatowi zadania.