XL OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

Rozwiązać równanie

$ \tg 7x - \sin 6x=\cos 4x - \ctg 7x. $

Rozwiązanie

Przepisujemy dane równanie w postaci

$ f(x) = g(x) , $

gdzie

$ f(x) = \tg 7x+\ctg 7x , \quad g(x) = \sin 6x + \cos 4x . $

Zarówno $f$ , jak i $g$ , jest funkcją okresową, o okresie $\pi$ . Wystarczy więc poszukiwać rozwiązań w zbiorze $(-\pi/2; 0) \cup (0; \pi/2)$ punkt $0$ oraz końce przedziału $(-\pi/2; \pi/2)$ zostały usunięte jako nie należące do dziedziny funkcji $f$ ).

Wyrażenie postaci $t + t^{-1}$ przyjmuje wyłącznie wartości o module nie mniejszym od $2$ ; oto uzasadnienie:

$ \left| t+ \frac{1}{t}\right| = \sqrt{\left(t+ \frac{1}{t}\right)^2}= \sqrt{\left(t- \frac{1}{t}\right)^2+4}\geq \sqrt{4}=2. $

Zatem $|f(x)| \geq 2$ dla każdego $x$ należącego do dziedziny funkcji $f$ . Jednocześnie $|g(x)| \leq | \sin 6x| +| \cos4x| \leq 2$ dlą każdego $x$ . Wobec tego równość $f(x)=g(x)$ zachodzi tylko wtedy gdy $f(x) - g(x) = 2$ lub $f(x) = g(x) = - 2$ . Z kolei równość $g(x) = \pm 2$ oznacza, że $\sin 6x = \cos 4x = \pm 1$ . Równanie $\cos 4x = -1$ ma w zbiorze $(-\pi/2;0) \cup (0;\pi/2)$ dwa rozwiązania: $x_1 = -\pi/4$ , $x_2 = -\pi/4$ ; równanie $\cos 4x = 1$ nie ma w tym zbiorze rozwiązań. Liczba $x$ spełnia przy tym równanie sin $\sin 6x =- 1$ ; liczba $x_2$ tego równania nie spełnia. Ponieważ zaś $f(\pi/4) = \tg (7\pi/4)+\ctg (7\pi/4) = -2$ , widzimy, że jedynym rozwiązaniem danego równania w rozważanym zbiorze jest liczba $\pi/4$ .

Uwzględniając wspomnianą na wstępie okresowość otrzymujemy zbiór liczb postaci

$ x=\frac{\pi}{4} + k \pi \quad (k \ \textrm{całkowite}) $

jako ogólne rozwiązanie podanego równania.