XL OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

III

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ . Okręgi $k_2$ i $k_3$ są styczne zewnętrznie w punkcie $P$ , okręgi $k_3$ i $k_1$ — w punkcie $Q$ , okręgi $k_1$ i $k_2$ — w punkcie $R$ . Prosta $PQ$ przecina okrąg $k_1$ jeszcze w punkcie $S$ , a prosta $PR$ — w punkcie $T$ . Prosta $SR$ przecina okrąg $k_2$ również w punkcie $U$ , a prosta $TQ$ przecina $k_3$ jeszcze w punkcie $V$ . Udowodnić, że punkt $P$ leży na prostej $UV$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy okrąg wpisany w trójkąt $O_1O_2O_3$ przez $k$ , jego środek przez $I$ , a środki okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ - przez $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ . Okrąg $k$ jest styczny do boków trójkąta $O_1O_2O_3$ w punktach $P$ , $Q$ , $R$ ; wymka to z równości $|O_1Q| = |O_1R|$ , $|O_2R| = |O_2P|$ , $|O_3P| = |O_3Q|$ .

Zachodzą następujące równości kątów (rysunek 6):

$ \begin{split} |\measuredangle RPQ| = \frac{1}{2} |\measuredangle RIQ| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } k);\\ |\measuredangle QSR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\ |\measuredangle QTR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\ |\measuredangle RIQ| + |\measuredangle QO_1R| = 180^\circ &\ \textrm{(przeciwległe kąty czworokąta } IQO_1R \textrm{ o pozostałych dwóch kątach prostych)}. \end{split} $

Z tych równości otrzymujemy z kolei związek

$ |\measuredangle QSR| = |\measuredangle QTR| = 90^\circ -|\measuredangle RPQ|, $

który oznacza, że trójkąty $PRS$ i $PQT$ są prostokątne: $PT \bot SU$ , $PS \bot TY$ .

Tak więc kąty $PRU$ i $PQV$ są proste. Są to kąty wpisane w okręgi $k_2$ i $k_3$ i muszą być oparte na półokręgach. Zatem odcinki $PU$ i $PV$ są średnicami tych okręgów; są wobec tego prostopadłe do wspólnej stycznej (prostej $PI$ ). Stąd wynika współliniowość punktów $U$ , $P$ , $V$ .