XL OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XL OM, 1988-1989

Etap:

III

Na sferze o promieniu $r$ leżą trzy okręgi o promieniu $a$ , parami styczne i zawarte w jednej półsferze. Znaleźć promień okręgu leżącego na tej samej sferze i stycznego do każdego z tych trzech okręgów.

Uwaga Podobnie jak na płaszczyźnie, mówimy, że dwa okręgi leżące na sferze są styczne, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Rozwiązanie

Oznaczmy trzy dane okręgi (o promieniu $a$ ) przez $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ . Załóżmy, że $k_0$ jest okręgiem o promieniu $x$ , położonym na tej samej sferze i stycznym do każdego z okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ . Żaden z okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ nie jest okręgiem wielkim danej sfery (dwa różne okręgi wielkie zawsze mają dwa punkty wspólne).

Niech $O$ będzie środkiem rozważanej sfery. Suma półprostych o wspólnym początku $O$ , przecinających okrąg $k_i$ , jest powierzchnią boczną nieograniczonego stożka kołowego, który oznaczymy przez $C_i$ : ( $i = 0,1,2,3$ ).

Okrąg $k_0$ może być okręgiem wielkim, brzegiem półsfery zawierającej okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ . W takim przypadku suma półprostych o początku $O$ , wyznaczonych przez punkty okręgu $k_0$ , jest płaszczyzną. Umówmy się, że przez $C_0$ rozumiemy wówczas jedną z dwóch wyznaczonych przez tę płaszczyznę półprzestrzeni - tę, która zawiera okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ . Mówiąc ,,stożek'' będziemy w dalszym ciągu dopuszczać także i ten przypadek, traktując półprzestrzeń jako graniczną (,,zdegenerowaną'') postać stożka.

Weźmy dwa różne numery $i, j \in \{0,1,2,3\}$ . Okręgi $k_i$ i $k_j$ mają dokładnie jeden punkt wspólny, zatem stożki $C_i$ i $C_j$ mają dokładnie jedną współną tworzącą. Mamy przy tym dwie możliwości: albo jeden z tych stożków zawiera się w drugim, albo też stożki te nie mają poza wspólną tworzącą innych punktów wspólnych. W pierwszym przypadku będziemy mówili o styczności wewnętrznej, w drugim - o styczności zewnętrznej.

Zauważmy, że dla każdej pary numerów $i, j \in \{1,2,3\}$ zachodzi ten drugi przypadek (wobec założonej równości promieni okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , inkluzja $C_i \subset C_j$ musiałaby być równością; okręgi $k_1$ i $k_j$ byłyby więc identyczne, wbrew temu, że mają tylko jeden punkt wspólny). Tak więc stożki $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ są parami styczne zewnętrznie. Tworzące, wzdłuż których stożki te są styczne - to trzy różne półproste.

Wyobraźnia geometryczna ukazuje nam dwie konfiguracje:
I. Stożki $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ są styczne wewnętrznie do $C_0$ .
II. Wszystkie cztery stożki są parami styczne zewnętrznie.

(W przypadku I okrąg $k_0$ ,,obejmuje'' trzy dane okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ , w przypadku II jest ,,wpisany'' pomiędzy nie.)

Wykażemy, że istotnie musi zajść jedna z tych sytuacji.

Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas co najmniej jeden ze stożków $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ (na przykład $C_1$ ) jest styczny do $C_0$ wewnętrznie oraz co najmniej jeden z tych stożków (na przykład $C_2$ ) jest styczny do $C_0$ zewnętrznie. Trzeci stożek, $C_3$ , jest styczny zarówno do $C_1$ , jak i do $C_2$ (i to wzdłuż różnych tworzących). Pewne jego punkty muszą więc znajdować się wewnątrz stożka $C_0$ , a pewne - na zewnątrz. To się jednak nie da pogodzić ze stycznością $C_3$ do $C_0$ . Uzyskana sprzeczność pokazuje, że rzeczywiście nie ma innych możliwości niż I i II.

Przechodzimy do obliczeń.

Oznaczmy rozwartość kąta przy wierzchołku każdego ze stożków $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ przez $2\alpha$ , a stożka $C_0$ - przez $2\varphi$ :

$ (1) \qquad \sin \alpha = \frac{a}{r}, \ \sin \varphi = \frac{x}{r}. $

Niech $A_i$ będzie środkiem okręgu $k_i \in (i = 0,1, 2, 3)$ . Trójkąt $A_1A_2A_3$ jest równoboczny. Długość jego boku wyznaczymy rozważając przekrój danych brył i figur płaszczyzną $OA_1A_2$ (rysunek 7):

$ |A_1 A_2 | = 2a \cos \alpha $

(na rysunkach $\pi_i$ oznacza ślad płaszczyzny okręgu $k_i$ ).

Oznaczmy przez $S$ środek trójkąta $A_1A_2A_3$ (czyli punkt będący jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie). Jego odległość od wierzchołka równa się $\frac{2}{3}$ wysokości:

$ (2) \qquad |A_1S| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot |A_1A_2| = \frac{2}{3} \sqrt{3} a \cos \alpha. $

Odcinek $OA_1$ jest wysokością trójkąta równoramiennego o dwóch bokach długości $r$ , tworzących kąt o mierze $2\alpha$ . A zatem

$ (3) \qquad |OA_1| = r \cos \alpha. $

Weźmy teraz pod uwagę przekrój płaszczyzną $OA_0A_1$ . Niech $B$ będzie punktem styczności okręgów $k_0$ i $k_1$ .

Mamy równości: $| \measuredangle SOB| = \varphi$ ; $|A_1B| = a$ , $|A_0B| = x$ . Rozwartość kąta $SOA_1$ wynosi: $\varphi - \alpha$ w przypadku I oraz $\varphi + \alpha$ w przypadku II (rysunki 8 i 9 ilustrują te dwie sytuacje). Wobec tego, zgodnie z (1),

$ (4) \qquad \sin | \measuredangle SOA_1 | = \sin (\varphi \pm \alpha) = \frac{x}{r} \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}} \pm \frac{a}{r} \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}} $

(znak minus w przypadku I, plus w przypadku II). Jednocześnie, wobec związków (2) i (3), mamy równość

$ (5) \qquad \sin |\measuredangle SOA_1| = \frac{A_1S}{OA_1} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r}. $

Przyrównując prawe strony (4) i (5) dostajemy równanie

$ (6) \qquad \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} - \frac{x}{r} \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}} = \pm \frac{a}{r} \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}, $

które - po podniesieniu stronami do kwadratu i dalszych przekształceniach - przybiera postać

$ (7) \qquad x^2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} \sqrt{r^2-a^2} \cdot x + \frac{a^2}{3} = 0. $

Pierwiastkami równania kwadratowego (7) są liczby

$ \begin{split} (8) \qquad x_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} \left( \sqrt{r^2-a^2} + \frac{1}{2} \sqrt{3r^2 - 4a^2} \right),\\ x_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} \left( \sqrt{r^2-a^2} - \frac{1}{2} \sqrt{3r^2 - 4a^2} \right); \end{split} $

wyrażenia podpierwiastkowe są nieujemne, co wynika ze związku (5): $2a \leq \sqrt{3} r$ . Liczba $x_1$ spełnia równanie pierwiastkowe (6) ze znakiem minus po prawej stronie, $x_2$ zaś - ze znakiem plus.

Stąd wynika odpowiedź:
Dla każdej trójki parami stycznych okręgów o promieniach równej długości $a$ (na półsferze o promieniu $r$ ) istnieją dwa okręgi styczne do każdego z tych trzech okręgów, usytuowane w sposób opisany powyżej (konfiguracje I i II). Ich promienie są dane wzorami (8); wartość $x_1$ odpowiada konfiguracji I, a wartość $x_2$ - konfiguracji II.