XXXIX OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dla każdej liczby dodatniej $a$ wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu $x^3+(a+2)x^2-x-3a$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy rozważany wielomian przez $F(x)$ . Wielomian trzeciego stopnia ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Pokażemy, że wielomian $F$ ma co najmniej trzy pierwiastki rzeczywiste - a więc ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste (dla każdej wartości parametru $a > 0$ ).

Wystarczy zauważyć, że

$ \begin{split} F(-a-3) &= (a+3)^2(-a-3+a+2)+(a+3)-3a =\\ &= -(a^2+6a+9)-2a+3 = -a^2-8a-6 < 0,\\ F(-2) &= -8+4(a+2)+ 2-3a = a+2 > 0,\\ F(0) &= -3a < 0,\\ F(2) &= 8+4(a+2)-2-3a = a+14 > 0. \end{split} $

Jeśli funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych przyjmuje w dwóch punktach wartości różnych znaków, to w pewnym punkcie przedziału ograniczonego tymi punktami przyjmuje wartość zero} (własność Darboux).

Stąd wynika, że w każdym, z przedziałów $(-a-3; -2)$ , $(-2; 0)$ , $(0; 2)$ znajduje się pierwiastek wielomianu $F$ .