Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste 
takie, że funkcja
![\[<br />
f(x) = |\sin tx + \cos x|<br />
\]](/files/tex/5056e23c4e0eb2742e481c3217db602be963a1d4.png) |
przyjmuje wartość 2.
Przypuśćmy, że 
dla pewnego 
. Ponieważ 
, 
, zatem równość taka jest możliwa tylko wtedy, gdy jednocześnie 
, 
. Z pierwszego z tych równań wynika, że 
(zatem 
), z drugiego zaś - że 
(zatem 
); 
i 
są liczbami całkowitymi. Stąd
![\[<br />
t = \frac{2m+1}{2n} \ (m,\ n \ \textrm{całkowite}, n \ne 0).<br />
\]](/files/tex/1a35341d40febf613f343c09bd8bef6ba44f348e.png) |
Na odwrót załóżmy, że jest liczbą takiej postaci i przyjmijmy 
. Wówczas
![\[<br />
\begin{split}<br />
\sin tx = \sin((-1)^{m+n}(2m+1)\pi/2) = (-1)^n,\\<br />
\cos x = \cos n\pi = (-1)^n \ \textrm{i}\ f(x) = |(-1)^n+(-1)^n| = 2.<br />
\end{split}<br />
\]](/files/tex/95730c1cf6e8ed09680fa561900ea3b4f67fedad.png) |
Tak więc warunek zadania spełniają liczby przedstawianie w postaci ułamka o liczniku nieparzystym, a mianowniku parzystym, i tylko one.