XXXIX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dla danego punktu $P$ leżącego wewnątrz trójkąta $ABC$ rozważamy
punkty $A'$ i $A''$ leżące na półprostej $AP^{\rightarrow}$ tak, że $A' \in BC$ , $|AA''| = 2|AA'|$ ;
punkty $B'$ i $B''$ leżące na półprostej $BP^{\rightarrow}$ tak, że $B' \in CA$ , $|BB''| = 2|BB'|$ ;
punkty $C'$ i $C''$ leżące na półprostej $CP^{\rightarrow}$ tak, że $C \in AB$ , $|CC''| = 2|CC'|$ .
Wyrazić pole trójkąta $A''B''C''$ za pomocą pól trójkątów $ABC$ i $A'B'C'$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia: $|PA| = a$ , $|PB| = b$ , $|PA'| = a'$ , $|PB'| = b'$ . Z warunków zadania wynika, że

$ |PA''| = |PA'| + |A'A''| = |PA'|+|AA'| = a'+(a+a') = a+2a' $

i podobnie $|PB''| = b+2b'$ (rysunek 2).

Obliczamy pola trójkątów:

$ \begin{split} \textrm{pole}\ (PAB) & = \frac{1}{2} |PA| \cdot |PB| \cdot \sin|\measuredangle APB| = \frac{ab}{2} \sin|\measuredangle APB|,\\ \textrm{pole}\ (PA'B) & = \frac{1}{2} |PA'| \cdot |PB| \cdot \sin|\measuredangle A'PB| = \frac{a'b}{2} \sin|\measuredangle A'PB|,\\ \textrm{pole}\ (PAB') & = \frac{1}{2} |PA| \cdot |PB'| \cdot \sin |\measuredangle APB'| = \frac{ab'}{2} \sin|\measuredangle APB'|,\\ \textrm{pole}\ (PA'B') & = \frac{1}{2} |PA'| \cdot |PB'| \cdot \sin \measuredangle A'PB'| = \frac{a'b'}{2} \sin|\measuredangle A'PB'|,\\ \textrm{pole}\ (PA''B'') & =\frac{1}{2} |PA''|\cdot |PB''| \cdot \sin |\measuredangle A''PB''| =\\ & = \frac{(a+2a')(b+2b')}{2} \cdot \sin|\measuredangle A''PB''|. \end{split} $

Zauważmy teraz, że miary każdych dwóch występujących w tych relacjach kątów albo są równe, albo dopełniają się do $180^\circ$ . Zatem ich sinusy są równe i otrzymujemy zależności

$ \begin{split} \frac{\textrm{pole} (PA'B)}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{a'}{a}, \ \frac{\textrm{pole} (PAB')}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{b'}{b}, \ \frac{\textrm{pole} (PA'B')}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{a'b'}{ab}, \\ \frac{\textrm{pole} (PA''B'')}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{(a+2a')(b+2b')}{ab} \ = 1+2 \left( \frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} \right) + 4 \frac{a'b'}{ab}. \end{split} $

Stąd

$ \begin{split} (1) \qquad \textrm{pole} (PA''B'') & = \textrm{pole} (PAB) +\\ & +2 \cdot \textrm{pole} (PA'B)+2 \cdot \textrm{pole} (PAB')+4 \cdot \textrm{pole} (PA'B'). \end{split} $

Przez cykliczną zmianę oznaczeń dostajemy analogiczne równości

$ \begin{split} (2) \qquad \textrm{pole} (PB''C'') & = \textrm{pole} (PBC) +\\ & +2 \cdot \textrm{pole} (PB'C)+2 \cdot \textrm{pole} (PBC')+4 \cdot \textrm{pole} (PB'C').\\ (3) \qquad \textrm{pole} (PC''A'') & = \textrm{pole} (PCA) +\\ & +2 \cdot \textrm{pole} (PC'A)+2 \cdot \textrm{pole} (PCA')+4 \cdot \textrm{pole} (PC'A'). \end{split} $

Dodając stronami związki (1), (2), (3) otrzymujemy odpowiedź:

$ \textrm{pole} (A''B''C'') = 3 \cdot \textrm{pole} (ABC)+4 \cdot \textrm{pole} (A'B'C'). $