LIX OM - I -Zadanie 11

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Punkty $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$ leżą odpowiednio na bokach $BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC$
trójkąta $ABC$ , przy czym spełnione są równości

$<br /> \measuredangle P_1P_2C =\measuredangle AP_2P_3 =\measuredangle P_3P_4B =\measuredangle CP_4P_5 =\measuredangle P_5P_6A=\measuredangle BP_6P_7 =60^{\circ}.<br />$

Dowieść, że $P_1 = P_7$ .

Rozwiązanie

Niech o będzie okręgiem opisanym na trójkącie $P_1P_2P_3$ .

Z warunków zadania wynika równość $\measuredangle P_1P_2P_3 = 60^{\circ}$ . To w połączeniu z równością
$\measuredangle P_3P_4B =60^{\circ}$ . dowodzi, że punkt $P_4$ leży na okręgu o, niezależnie od tego, czy leży
on na odcinku $P_1C$ (rys. 4), czy na odcinku $P_1B$ (rys. 5). Zauważmy ponadto, iż równość $P_1 = P_4$
zachodzi jedynie wtedy, gdy okrąg o jest styczny do boku $BC$ .

Dalej, na mocy założeń zadania mamy $\measuredangle P_5P_4P_3 = 60^{\circ}$ i $\measuredangle AP_2P_3 = 60^{\circ}$ ,
skąd wnioskujemy, że punkt $P_5$ leży na okręgu $o$ , zarówno wtedy, gdy punkt $P_5$ leży na odcinku $P_2C$
(rys. 6), jak i wtedy, gdy leży on na odcinku $P_2A$ (rys. 7). Tak jak poprzednio, równość $P_2 =P_5$
oznacza, że okrąg o jest styczny do boku $CA$ .

Analogicznie dowodzimy, że punkty $P_6$ i $P_7$ leżą na okręgu $o$ . Wynika stąd, że punkty $P_1, P_4, P_7$
leżą jednocześnie na okręgu $o$ i na boku $BC$ . Jeżeli okrąg ten jest styczny do danego boku, to oczywiście
$P_1 = P_4 = P_7$ . Jeżeli natomiast okrąg o przecina bok $BC$ w dwóch różnych punktach, to z przeprowadzonego
rozumowania otrzymujemy $P_1 \neq P_4$ i $P_4 \neq P_7$ , zatem równość $P_1 = P_7$ także jest spełniona.