XXXIX OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Spośród liczb $1, 2, \ldots, 3n$ ( $n > 2$ ) wybieramy w sposób losowy cztery różne. Wybór każdej czwórki jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wybranych liczb dzieli się przez 3.

Rozwiązanie

{Suma czterech liczb całkowitych dzieli się przez $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy układ reszt z dzielenia tych liczb przez $3$ ma (z dokładnością do permutacji) jedną z następujących pięciu postaci:

$ (0, 0, 0, 0),\ (0, 1, 1, 1),\ (0, 2, 2, 2),\ (0, 0,1, 2),\ (1,1, 2,2). $

Spośród liczb naturalnych od $1$ do $3n$ dokładnie $n$ liczb daje w dzieleniu przez $3$ resztę $0$ ; także $n$ liczb daje resztę $1$ oraz $n$ liczb daje resztę $2$ . Wypisane powyżej konfiguracje reszt są wobec tego reprezentowane odpowiednio przez

$ \binom{n}{4}, \binom{n}{1}\binom{n}{3}, \binom{n}{1}\binom{n}{3}, \binom{n}{2}\binom{n}{1}\binom{n}{1}, \binom{n}{2}\binom{n}{2} $

czteroelementowych podzbiorów zbioru $\{1, \ldots,3n\}$ . Szukane prawdopodobieństwo $p$ jest ilorazem $L/M$ , gdzie $L$ oznacza sumę tych pięciu wartości, a $M$ jest liczbą wszystkich czteroelementowych podzbiorów zbioru $\{1, \ldots, 3n\}$ .

Tak więc

$ \begin{split} L & = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} + 2n \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + n^2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + \\ & + \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 = \frac{n(n-1)}{24} ((n-2)(n-3)+8n(n-2) + 12n^2 + 6n(n-1))=\\ & = \frac{n(n-1)(27n^2-27n+6)}{24},\\ M& = \binom{3n}{4} = \frac{3n(3n-1)(3n-2)(3n-3)}{24} = \frac{9n(n-1)(9n^2-9n+2)}{24}, \end{split} $

skąd

$ p=\frac{L}{M} = \frac{1}{3}. $