XXXIX OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dane jest takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, że obrazem każdego okręgu jest okrąg. Udowodnić, że obrazem każdej prostej jest prosta.

Rozwiązanie

Oznaczmy rozważane przekształcenie przez $f$ . Niech $l$ będzie dowolną prostą, a $f(l)$ - jej obrazem w przekształceniu $f$ .

Dowód podanej tezy oprzemy na następujących trzech stwierdzeniach:

[(1)] \textrm{Wraz z dowolnymi dwuoma punktami zbiór}\ f(l) \ \textrm{zawiera prostą przechodzącą przez te punkty.}
[(2)] \textrm{Zbiór}\ f(l) \ \textrm{zawiera więcej niż jeden punkt.}
[(3)] \textrm{Zbiór}\ f(l) \ \textrm{nie jest całą płaszczyzną.}

A oto dowody tych stwierdzeń:

Ad (1). Niech $P$ , $Q \in f(l)$ , $P \ne Q$ . Istnieją więc punkty $A$ , $B \in l$ takie, że $P =f(A)$ , $Q = f(B)$ . Przypuśćmy, że na prostej $PQ$ znajduje się punkt $R$ nie należący do $f(l)$ . Z założenia $f$ przekształca płaszczyznę na całą płaszczyznę, a więc $R = f(C)$ dla pewnego punktu $C$ . Skoro zaś $R \not \in f(C)$ , to $C \not \in l$ . Przez punkty $A$ , $B$ , $C$ można zatem poprowadzić okrąg. Jego obraz w przekształceniu $f$ zawiera trzy różne współliniowe punkty $P$ , $Q$ , $R$ - nie jest więc okręgiem, wbrew warunkowi zadania.

Ad (2). Przypuśćmy, że $f(l) = \{R\}$ . Weźmy dowolne dwa punkty $P$ i $Q$ , współliniowe z $R$ i różne od $R$ . Istnieją punkty $A$ i $B$ takie, że $P = f(A)$ , $Q = f(B)$ . Punkty $A$ i $B$ leżą poza prostą $l$ . Zatem znajdzie się na prostej $l$ punkt $C$ niewspółliniowy z $A$ i $B$ . Prowadzimy okrąg przez punkty $A$ , $B$ , $C$ . Jego obraz zawiera trzy różne współliniowe punkty $P$ , $Q$ , $R$ - sprzeczność.

Ad (3). Przypuśćmy teraz, że $f(l)$ jest całą płaszczyzną. Niech $C$ będzie dowolnym punktem nie leżącym na prostej $l$ i niech $R =f(C)$ . Bierzemy dowolne dwa punkty $P$ , $Q$ , współliniowe z $R$ i różne od $R$ . Wobec przypuszczenia, że $f(l)$ jest całą płaszczyzną, punkty $P$ i $Q$ są obrazami pewnych punktów $A$ , $B \in l$ . Obraz okręgu przechodzącego przez punkty $A$ , $B$ , $C$ zawiera trzy różne współliniowe punkty $P$ , $Q$ , $R$ - sprzeczność.

Dowód tezy zadania. W myśl (2), zbiór $f(l)$ zawiera co najmniej dwa punkty. Weźmy więc dwa różne punkty $P$ , $Q \in f(l)$ . Na mocy (1) prosta $PQ$ zawiera się w $f(l)$ . Przypuśćmy, że zbiór $f(l)$ zawiera jakikolwiek punkt $R$ leżący poza prostą $PQ$ - zawiera wówczas całe proste $PR$ i $QR$ , znów na mocy (1). Brzeg trójkąta $PQR$ jest więc zawarty w $f(l)$ .

Niech $X$ będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Poprowadźmy przez punkt $X$ dowolną prostą $m$ przecinającą brzeg trójkąta $POR$ w dwóch punktach. Punkty te należą do $f(l)$ , a zatem, zgodnie z (1), prosta $m$ jest zawarta w $f(l)$ ; w szczególności, $X \in f(l)$ . Ponieważ punkt $X$ był wybrany dowolnie, otrzymujemy sprzeczność z uwagą (3). To znaczy, że zbiór $f(l)$ jest identyczny z prostą $PO$ .

Wykazaliśmy tym samym, że obrazem prostej $l$ jest prosta.