XXXIX OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dla danego sześcianu o krawędzi długości 1 znaleźć zbiór odcinków o sumie długości nie większej niż $1 +3\sqrt{3}$ mający tę własność, że każde dwa wierzchołki sześcianu są końcami pewnej łamanej złożonej z odcinków tego zbioru.

Rozwiązanie

Podamy przykład zbioru odcinków o wymaganej własności. Przykład ten może być uważany za przestrzenny odpowiednik ,,optymalnej sieci dróg wiążącej wierzchołki prostokąta'', skonstruowanej w zadaniu przygotowawczym $C$ . (Wskazówkę do konstrukcji daje spostrzeżenie, że celowe jest poszukiwanie takiego układu odcinków, by w każdym ,,węźle sieci'' schodziły się dokładnie trzy odcinki, leżące w jednej płaszczyźnie i tworzące kąty po $120^\circ$ , bowiem istnienie węzła jakiejkolwiek innej postaci daje możliwość lokalnej modyfikacji sieci w otoczeniu takiego węzła, prowadzącej do skrócenia sieci.)

Niech $A_1B_lC_1D_1$ i $A_2B_2C_2D_2$ będą dwiema przeciwległymi ścianami sześcianu, oznaczonymi tak, by odcinki $A_1A_2$ , $B_1B_2$ , $C_1C_2$ , $D_1D_2$ były czterema równoległymi krawędziami sześcianu. Oznaczmy środki krawędzi $A_1B_1$ , $C_1D_1$ , $A_2B_2$ , $C_2D_2$ , odpowiednio przez $K_1$ , $L_1$ , $K_2$ , $L_2$ , a środki odcinków $K_1L_1$ i $K_2L_2$ (czyli środki dwóch wymienionych na początku ścian) - przez $O_1$ i $O_2$ (rysunek 4).

Na odcinku $O_1O_2$ znajdujemy punkty $P_1$ i $P_2$ takie, że $|O_1P_1|= |O_2P_2| = \sqrt{3}/6$ . Wówczas $|P_1P_2| = 1-\sqrt{3}/3$ . (Odcinki $K_1P_1$ , $L_1P_1$ , $P_1P_2$ , $P_2K_2$ , $P_2L_2$ tworzą w kwadracie $K_1L_1L_2K_2$ sieć, o jakiej mowa w zadaniu $C$ ; otrzymane kąty o wierzchołkach w punktach $P_1$ i $P_2$ mają rozwartość po $120^\circ$ .)

Długość odcinka $K_1P_1$ wynosi $\sqrt{3}/3$ . Niech $M_1$ będzie środkiem tego odcinka; zatem $|K_1M_1| = |M_1P_1| =\sqrt{3}/6$ . (Nietrudno sprawdzić, że teraz odcinki $M_1A_1$ i $M_1B_1$ tworzą z odcinkiem $M_1P_1$ kąty $120^\circ$ ). Odcinki $A_1M_1$ i $B_1M_1$ mają długości równe $\sqrt{3}/3$ . Analogicznie, niech $N_1$ , $M_2$ , $N_2$ będą odpowiednio środkami odcinków $L_1P_1$ , $K_2P_2$ , $L_2P_2$ . Rozważamy zbiór następujących trzynastu odcinków:

$ \left. \begin{array}{cccc} A_1M_1, & B_1M_1, & C_1N_1, & D_1N_1,\\ A_2M_2, & B_2M_2, & C_2N_2, & D_2N_2, \end{array} \right\} \textrm{długości}\ \sqrt{3}/3 \ \textrm{każdy} \\ M_1P_1, N_1P_1, M_2P_2, N_2P_2, \textrm{długości}\ \sqrt{3}/3 \ \textrm{każdy} \\ P_1P_2,\ \textrm{długości} \ 1-\sqrt{3}/3. $

Suma ich długości wynosi $1+ 3\sqrt{3}$ . Znaleźliśmy w ten sposób zbiór odcinków spełniający postawione warunki.