XXXIX OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Wiedząc, że $x \in \langle 0; \pi/4\rangle$ rozstrzygnąć, która z liczb jest większa:

$ \tan \sin x \text{ czy } \sin \tan x. $

Rozwiązanie

Wykażemy, że większa jest pierwsza z tych liczb (jedynie dla $x=0$ zachodzi równość).

Wprowadźmy oznaczenie:

$ f(x) = \tan \sin x - \sin \tan x. $

Obliczamy pochodną funkcji $f$ w przedziale $(0; \pi/2)$ :

$ (1) \qquad f'(x) = \frac{(\cos x)^2-(\cos \sin x)^2 (\cos \tan x)} {(\cos x)^2 (\cos \sin x)^2} $

W dalszym ciągu będzie nam potrzebna nierówność

$ (2) \qquad \frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3} \tan x>x \ \textrm{dla}\ x \in \left(0; \frac{\pi}{2} \right). $

Dowodzimy jej następująco: przyjmijmy

$ h (x) = 2 \sin x + \tan x-3x. $

Pochodna

$ h'(x)= 2\cos x+ \frac{1}{(cos x)^2} -3 = \frac{(\cos x-1)^2 (2 \cos x +1)}{\cos x)^2} $

jest dodatnia w przedziale $(0; \pi/2)$ . Zatem funkcja $h$ jest rosnąca w tym przedziale, a ponieważ jest ciągła w punkcie $0$ i $h(0) = 0$ , to $h(x) > 0$ dla $x \in (0; \pi/2)$ . Nierówność (2) jest więc udowodniona.

Funkcja $\varphi (x) =\cos x$ jest wklęsła w przedziale $(0; \pi/2)$ , to znaczy spełnia nierówność

$ (3) \qquad \varphi((1-t)u+tv) \geq (1 - t)\varphi (u)+t\varphi(v)\ \textrm{dla} \ u, v \in (0; \pi/2),\ t \in \langle 0; 1 \rangle $

(Obszerniejszy komentarz na temat funkcji wypukłych i funkcji wklęsłych znajdzie Czytelnik na przykład w broszurze ,,{\it XXXVII Olimpiada Matematyczna. Sprawozdanie Komitetu Głównego}'' WSiP 1989, w Uwadze po rozwiązaniu zadania 2 z zawodów I stopnia).

Ustalmy $x \in (0; \pi/4 \rangle$ . Wówczas liczby $u = \sin x$ i $v = \tan x$ należą do przedziału $(0; 1 \rangle$ , a więc możemy zastosować nierówność (3) do funkcji $\varphi (x) = \cos x$ i do tych właśnie liczb $u$ i $v$ , biorąc $t = 1/3$ :

$ (4) \qquad \cos \left( \frac{2}{3} \sin x + \frac{1}{3} \tan x \right)\geq \frac{2}{3} \cos \sin x+ \frac{1}{3} \cos \tan x. $

Ponieważ cosinus jest funkcją malejącą w przedziale $(0; \pi/2)$ , lewa strona ostatniej nierówności jest - z uwagi na (2) - mniejsza od $\cos x$ . Natomiast prawa strona (4), jako średnia arytmetyczna liczb $a_1 = a_2 = \cos \sin x$ i $a_3 = \cos \tan x$ , jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej. Tak więc nierówność (4) prowadzi do oszacowania:

$ \cos x > \sqrt[3]{(\cos \sin x)^2 (\cos \tan x)}. $

A to oznacza, że pochodna funkcji $f$ , dana wzorem (1), jest dodatnia dla wszystkich $x \in (0; \pi/4)$ . Tak więc funkcja $f$ jest w tym przedziale rosnąca; a ponieważ jest ciągła w punkcie $0$ i $f(0) =0$ , zatem ostatecznie $f(x) > 0$ dla $x \in (0; \pi/4 \rangle$ .

Stąd odpowiedź:

$ (5) \qquad \tan \sin x-\sin \tan x \left\{ \begin{array}{ccl} >0 & \textrm{dla} & x \in ( 0; \frac{\pi}{4} \rangle,\\ = 0 & \textrm{dla} & x=0. \end{array} \right. $