XXXIX OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dane są dwie współśrodkowe sfery $S_R$ i $S_r$ odpowiednio o promieniach $R$ i $r$ , $R > r$ . Niech $A_0$ będzie pewnym punktem należącym do $S_R$ . Niech $T_{A_0}$ będzie stożkiem o wierzchołku w $A_0$ stycznym do $S_r$ . Oznaczmy $K_1 = T_{A_0} \cap S_R$ . Następnie dla każdego punktu $A \in K_1$ wykreślamy stożek $T_A$ i określamy $K_2 = \bigcup_{A\in K_1} T_A \cap S_R$ i dalej przez indukcję $K_{n+1}= \bigcup_{A\in K_n} T_A \cap S_R$ , gdzie $T_A$ jest stożkiem o wierzchołku w $A$ i stycznym do $S_r$ . Udowodnić, że dla pewnego $n$ jest $K_n = S_R$ .

Rozwiązanie

W tym zadaniu przez stożek należy rozumieć powierzchnię nieograniczonego stożka kołowego, a przez styczność stożka do sfery - styczność wzdłuż pewnego okręgu. (Ten brak precyzji w sformułowaniu został zauważony i wytknięty przez wielu uczestników olimpiady.)

Oznaczmy przez $O$ wspólny środek sfer $S_r$ i $S_R$ . Niech $u$ będzie rozwartością kąta przy wierzchołku stożka $T_{A_0}$ (a więc i każdego stożka $T_A$ rozważanego w zadaniu); $a = 2 arc \sin (r/R)$ . Przyjmijmy $N = [\pi/2\alpha]+1$ . Udowodnimy przez indukcję względem $n= 1, \ldots,N$ następującą implikację:

$ nr{1} \textrm{Jeżeli} \ P \in S_R, |\measuredangle A_0OP| \leq 2n\alpha, \ \textrm{to} \ P \in K_{2n}. $

Stąd wyniknie, że $K_{2N} = S_R$ .

Dla $n = 1$ poprzednik implikacji (1) przybiera postać: $|\measuredangle A_0OP| \leq 2\alpha$ . Stożek $T_P$ ma wtedy punkty wspólne ze zbiorem $K_1 = T_{A_0} \cap S_R$ . Niech $Q \in T_P \cap K_1$ (rysunek 5). Zauważmy, że stwierdzenia: $Q \in T_P$ oraz $P \in T_Q$ są równoważne (każde z nich znaczy dokładnie tyle, że odcinek $PQ$ jest styczny do sfery $S_r$ ). Tak więc w tym przypadku

$ P \in T_Q \subset \cup_{A \in K_1} T_A, $

czyli $P \in K_2$ .

Załóżmy teraz, że dowodzona implikacja (1) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $n \leq N-1 = [\pi/2\alpha]$ . Wykażemy słuszność analogicznej implikacji dla $n+1$ .

Niech $P \in S_R$ będzie punktem takim, że $|\measuredangle A_0OP| \leq 2(n+1) \alpha$ (rysunek 6 ilustruje sytuację, gdy $n = 2$ , $n+1 = 3$ ; przedstawia on przekrój rozważanych sfer płaszczyzną $A_0PP$ ). Weźmy pod uwagę koło wielkie sfery $S_R$ przechodzące przez punkty $A_0$ i $P$ . Niech $\textrm{{\it ł}}$ będzie krótszym z dwóch łuków, na które punkty $A_0$ i $P$ dzielą okrąg tego koła (w przypadku gdy $P$ jest punktem antypodycznym do $A_0$ bierzemy dowolne koło wielkie o średnicy $A_0P$ i dowolny półokrąg $A_0P$ ). Na łuku $\textrm{{\it ł}}$ znajdujemy punkty $L$ i $M$ takie, że $|\measuredangle LOM| = |\measuredangle MOP| - \alpha$ . Wówczas $|\measuredangle LOP|=2 \alpha$ , $|\measuredangle A_0OL|$ , $|\measuredangle A_0OP|????$ , więc z założenia indukcyjnego $L \in K_{2n}$ . Niech $M' \in S_R$ będzie punktem antypodycznym do $M$ . W rozważanym kole wielkim kąt wpisany $LM'P$ jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego $LOP$ . Zatem $|\measuredangle LM'P| = \alpha$ , a to znaczy, że punkty $L$ i $P$ należą do stożka $T_M$ . Odcinki $LM'$ i $PM'$ są więc styczne do sfery $S_r$ ; wobec tego $M'\in T_L \cap S_R$ . Skoro zaś $L \in K_{2n}$ , wnosimy stąd, że $M' \in K_{2n+1}$ , zgodnie z określeniem zbioru $K_{2n+1}$ jako sumy zbiorów postaci $T_A \cap S_R$ dla $A \in K_{2n}$ . Ponieważ z kolei zbiór $K_{2n+2}$ jest sumą zbiorów $T_A \cap S_R$ dla $A \in K_{2n+1}$ , otrzymujemy stąd wniosek, że $P \in T_{M'} \cap S_R \subset K_{2n+2}$ . Kończy to krok indukcyjny.

Na mocy zasady indukcji implikacja (1) jest słuszna dla wszystkich rozważanych wartości $n$ (tzn. dla $n - 1, \ldots, N$ ). Zachodzi więc w szczególności dla $n = N$ . Gdy $n = N$ , poprzednik tej implikacji jest prawdziwy dla dowrolnego punktu sfery $S_R$ : nierówność $|\measuredangle A_0OP| \leq 2N \alpha$ jest spełniona automatycznie, bo $2N\alpha > \pi$ (zgodnie z określeniem liczby $N$ ). Prawdziwy jest więc i następnik; a to znaczy, że każdy punkt $P$ sfery $S_R$ należy do zbioru $K_{2N}$ . Zatem ostatecznie $S_R = K_{2N}$ .