XXXIX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Niech $f(x)$ będzie wielomianem, $n$ - liczbą naturalną. Udowodnić, że jeżeli $f(x^{n})$ dzieli się przez $x-1$ , to dzieli się również przez $x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1$ .

Rozwiązanie

Z warunku zadania wynika, że wielomian $F(x) = f(x'')$ przyjmuje w punkcie $x = 1$ wartość $0$ . Zatem i wielomian $f$ przyjmuje w punkcie $1$ wartość $0$ . Na mocy twierdzenia Bezout wielomian $f$ jest więc podzielny przez dwumian $x-1$ . Innymi słowy, istnieje wielomian $g$ taki, że $f(x) = (x-1)g(x)$ . Stąd

$ \begin{split} F(x) & =f(x^n) = (x^n-1)g(x^n) =\\ = (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+ \ldots +x+1)g(x^n), \end{split} $

co dowodzi tezy zadania.