XXXIX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dane są liczby rzeczywiste $x_i$ , $y_i$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ ) takie, że

$ (1) \qquad x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n \geq 0, \quad \qquad y_1 > y_2 > \ldots > y_n 0, $

oraz

$ \prod_{i=1}^k x_i \geq \prod_{i=1}^k y_i,\quad \text{ dla }\quad k=1,2,\ldots, n. $

Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n x_i > \sum_{i=1}^n y_i. $

Rozwiązanie

Przepiszmy założenie (2) w postaci

$ \prod_{i=1}^k \frac{x_i}{y_i} \geq 1 \ \textrm{dla} \ k=1, \ldots,n. $

Na mocy nierówności między średnimi mamy więc

$ nr{3} \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \frac{x_i}{y_i} \geq \left( \frac{i=1}{k} \frac{x_i}{y_i} \right)^{1/k} \geq 1 \ \textrm{dla} \ k=1, \ldots,n. $

Wprowadźmy oznaczenie:

$ s_k= \sum_{i=1}^k \left( \frac{x_i}{y_i} -1 \right) = \left( \sum_{i=1}^k \frac{x_i}{y_i} \right) - k \ \textrm{dla} \ k=1, \ldots, n $

i przyjmijmy dodatkowo $s_0 = 0$ . Z otrzymanej przed chwilą nierówności (3) wynika, że liczby $s_k$ są nieujemne. Zauważmy, że

$ s_k - s_{k-1} = \frac{x_k}{y_k} - 1 = \frac{x_k -y_k}{y_k}, $

skąd

$ x_k-y_k = y_k(s_k-s_{k-1}) \ \textrm{dla} \ k = 1, \ldots, n. $

A zatem

$ \begin{split} (4) \qquad \sum_{k=1}^n (x_k - y_k) & = \sum_{k=1}^n y_k (s_k - s_{k-1}) = \\ & = y_1(s_1-s_0)+y_2(s_2-s_1)+\ldots+y_n(s_n-s_{n-1})=\\ & = (y_1y_2)s_1 + (y_2-y_3)s_2 + \ldots + (y_{n-1}-y_n)s_{n-1}+y_ns_n. \end{split} $

Wobec nierówności $y_1 \geq \ldots \geq y_n$ oraz $s_k \geq 0$ otrzymana suma jest nieujemna. Tak więc

$ \sum_{k=1}^n (x_k-y_k) \geq 0. $

A to właśnie mieliśmy wykazać.

Uwaga 1: Zastosowane w końcowej fazie rozumowania przekształcenie (4) polegające na takim przegrupowaniu składników, by zamiast sumy wyrażeń postaci $y_k \cdot \Delta s_k$ (gdzie $\Delta s_k = s_k-s{k-1}$ ) rozważać sumę wyrażeń $s_k \cdot \Delta y_k$ , nosi nazwę przekształcenia Abela. Jest ono często stosowane w różnych zagadnieniach związanych z badaniem ciągów i szeregów liczbowych. Warto zwrócić uwagę na podobieństwo tego przekształcenia do reguły ,,całkowania przez części''.

Uwaga 2: Nie korzystaliśmy nigdzie z założenia monotoniczności ciągu $(x_i)$ . Również w następnych sposobach nie będzie ono nam niepotrzebne.

To znaczy, przyjmujemy warunki (2) oraz (1'):

$ (1') \qquad y_1 \geq \ldots \geq y_n > 0;\ x_i > 0 \ \textrm{dla} \ i = 1, \ldots, n. $

Uwaga 3: Zadanie jest szczególnym przypadkiem następującego ogólnego twierdzenia:

Jeżeli liczby rzeczywiste $a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ spełniają warunki : $b_1 \geq \ldots \geq b_n$ oraz

$ (10) \qquad \sum_{i=1}^k a_i >\sum_{i=1}^k b_i \textrm{dla} \ k= 1,\ldots,n, $

to dla dowolnej niemalejącej funkcji wypukłej $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ zachodzi nierówność

$ (11) \qquad \sum_{i=1}^n f(a_i) \geq \sum_{i=1}^n f(b_i). $

(Aby otrzymać nasze zadanie, wystarczy przyjąć $x_i = e^{a_i}$ , $y_i = e^{b_i}$ , $f(x) = e^x$ .)

Jest to twierdzenie Hardy'ego—Littlewooda—Pólya'i (w skrócie H—L—P), a ściślej, jeden z jego wariantów. W oryginalnym (i najczęściej stosowanym) sformułowaniu twierdzenia H—L—P zakłada się dodatkowo, źe także $a_1 \geq \ldots \geq a_n$ i że nierówność (10) staje się równością dla $k = n$ ; za to teza (11) zachodzi wtedy dla dowolnej funkcji wypukłej $f$ , niekoniecznie monotonicznej. W przytoczonym przez nas brzmieniu nosi ono czasem nazwę twierdzenia Tomića lub twierdzenia Weyla; częściej jednak jest uważane za wariant starszego odeń twierdzenia H—L—P (którego dowody dadzą się łatwo przetwarzać na dowody twierdzenia Tomića—Weyla).

Omawiane twierdzenie, w obu tych wersjach, znajdzie Czytelnik wraz z dowodami i komentarzem na przykład w książce: D.S. Mitrinović, Analytic Inequalities; Berlin-Heidelberg-New York 1970 (Ch.2.24, Thms 1, 2). Stosowana tam metoda wykorzystuje przekształcenie Abela (a więc w pewnej mierze koresponduje z rozwiązaniem naszego zadania przedstawionym w sposobie I). Można jednakże, i to bez nadmiernych trudności, uzyskać dowód twierdzenia H—L—P (w którejkolwiek z rozważanych wersji) wzorując się na rozwiązaniu podanym w sposobie II; może to być interesującym zadaniem dla ambitniejszych Czytelników.