XXXIX OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Wewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ rozważamy punkt $P$ i jego rzuty $L, M, N$ odpowiednio na boki $BC, CA, AB$ . Wyznaczyć taki punkt $P$ , dla którego suma $|BL|^2 + |CM|^2 + |AN|^2$ jest najmniejsza.

Rozwiązanie

Niech $P$ będzie dowolnym punktem wewnątrz trójkąta $ABC$ . Rozważając trójkąty prostokątne $ANP$ , $BLP$ , $CMP$ (rysunek 7) stwierdzamy, że

$ |AP|^2+|BP|^2+|CP|^2 = |AN|^2+|PN|^2+|BL|^2 + |PL|^2+|CM|^2+|PM|^2. $

Analogicznie, z trójkątów AMP, BNP, CLP dostajemy

$ |AP|^2+|BP|^2 + |CP|^2 = |AM|^2 + |PM|^2+|BN|^2+|PN|^2 + |CL|^2 + |PL|^2. $

Stąd przez przyrównanie prawych stron otrzymanych równości:

$ (1) \qquad |AN|^2+|BL|^2+ |CM|^2 = |AM|^2+|BN|^2+|CL|^2. $

Lewa strona równości (1) - to właśnie rozważana w zadaniu wielkość; oznaczmy ją przez $f(P)$ . Mamy znaleźć punkt $P$ , dla którego $f(P)$ osiąga minimum.

Suma lewej i prawej strony równości (1) wynosi $2f(P)$ . Tak więc

$ (2) \qquad 2f(P) = (|BL|^2 + |CL|^2)+(|CM|^2 + |AM|^2)+ (|AN|^2+|BN|^2). $

Zauważmy teraz, że

$ \begin{split} |BL|^2+|CL|^2 & = \frac{1}{2}((|BL| + |CL|)^2+ (|BL|-|CL|)^2) =\\ & = \frac{1}{2}(|BC|^2+(|BL|-|CL|)^2). \end{split} $

Wartość tego wyrażenia jest najmniejsza, gdy różnica $|BL| - |CL|$ jest zerem (bo $|BC|$ jest stałe) - czyli gdy $L$ jest środkiem odcinka $BC$ . Tak samo pozostałe dwie sumy w nawiasach po prawej stronie (2) mają wartość najmniejszą, gdy punkty $M$ i $N$ są środkami boków $CA$ i $AB$ .

Te zaś warunki dają się zrealizować jednocześnie: rzuty punktu $P$ na boki trójkąta pokrywają się ze środkami tych boków wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ leży na przecięciu symetralnych boków. Stąd odpowiedź: wielkość $f(P)$ osiąga minimum, gdy $P$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ (należy on do wnętrza trójkąta $ABC$ , skoro trójkąt ten jest ostrokątny).