XXXIX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $n^{2n} - n^{n+2} + n^n - 1$ jest podzielna przez $(n - 1 )^3$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy:

$ N = n^{2n}-n^{n+2}+n^n-1, \ m = n-1. $

Przyjmijmy, że $n \geq 2$ , czyli $m \geq 1$ . Zgodnie z wzorem dwumianowym,

$ \begin{split} N & = (m + 1)^{2m+2}-(m+l)^{m+3}+ (m+1)^{m+1}-1 =\\ & = \left[ 1 +\binom{2m+2}{1} m +\binom{2m+2}{2}m^2+Am^3 \right]-\\ & - \left[ 1 +\binom{m+3}{1} m +\binom{m+3}{2}m^2+Bm^3 \right]+\\ & + \left[ 1 +\binom{m+1}{1} m +\binom{m+1}{2}m^2+Cm^3 \right]-1 \end{split} $

gdzie $A$ , $B$ , $C$ są liczbami całkowitymi. Przekształcamy dalej:

$ \begin{split} N & = (2m+2)m+(m+1) (2m + 1)m^2+Am^3-\\ & - (m+3)m- \frac{1}{2} (m+3) (m+2)m^2-Bm^3 +\\ + (m+1)m+ \frac{1}{2}(m+1)m \cdot m^2 + Cm^3 =\\ & = 2m^4 + m^3 + (A-B+C)m^3. \end{split} $

Zatem $N = Dm^3= D(n - 1)^3$ , gdzie $D$ jest liczbą całkowitą (oczywiście dla $n = 1$ jest to też prawda).

Wykazaliśmy więc, że $N$ dzieli się przez $(n - 1)^3$ .