XXXIX OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

Dany jest wielościan wypukły o $k$ ścianach $S_1, \ldots, S_k$ . Oznaczmy wektor długości 1 prostopadły do ściany $S_i$ ( $i = 1, \ldots, k$ ) zwrócony na zewnątrz danego wielościanu przez $\overrrightarrow{n_i}$ , natomiast pole powierzchni tej ściany przez $P_i$ . Dowieść, że

$ \sum_{i=1}^k P_i \cdot \overrightarrow{n_i} = \overrightarrow{0}. $

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od uwagi, że jeśli w przestrzeni dany jest dowolny wielokąt płaski wypukły $S$ oraz płaszczyzna $\pi$ i jeśli $\overrightarrow{n}$ jest wektorem długości $1$ prostopadłym do płaszczyzny wielokąta $S$ , a w jest wektorem długości $1$ prostopadłym do płaszczyzny $\pi$ , to oznaczając przez $W$ rzut prostokątny wielokąta $S$ na płaszczyznę $\pi$ mamy następującą zależność między polami wielokątów $S$ i $W$ :

$ (1) \qquad \textrm{pole}\ W = (\textrm{pole}\ S) \cdot |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w}| $

(kropka między wektorami oznacza iloczyn skalarny).

Wzór (I) jest oczywisty w przypadku, gdy rozważane płaszczyzny są równolegle lub prostopadłe (bo wówczas, odpowiednio, $|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w}|$ równa się $1$ lub $0$ ). W pozostałym przypadku, gdy płaszczyzny te przecinają się wzdłuż prostej $l$ tworząc kąt $\varphi (0 < \varphi < \pi/2$ ), wzór (1) wynika z następujących spostrzeżeń:

Gdy $S$ jest prostokątem o jednym boku równoległym, a drugim prostopadłym do prostej $l$ , jego rzut $W$ na płaszczyznę $\pi$ też jest takim prostokątem. Długość boku równoległego do $l$ nie zmienia się przy rzutowaniu, natomiast długość boku prostopadłego do $l$ ulega skróceniu w stosunku $|\cos \varphi|$ . W tym samym stosunku zmienia się więc i pole prostokąta; otrzymujemy zatem
dla prostokąta $S$ wzór (1), bo $|\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w} | = |\cos \measuredangle (\overrightarrow{n}, \overrightarrow{w})| = |cos \varphi|$ .

Stąd natychmiast wynika prawdziwość (1) dla dowolnego trójkąta prostokątnego o jednej przyprostokątnej równoległej, a drugiej prostopadłej do $l$ , bowiem trójkąt taki można uzupełnić do prostokąta (którego dwoma bokami są przyprostokątne danego trójkąta). Pole prostokąta zmienia się przy rzutowaniu w stosunku $|cos \varphi| = |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w}|$ , więc to samo dzieje się z dwukrotnie mniejszym polem trójkąta (rysunek 8).

Wystarczy teraz zauważyć, że dowolny wielokąt wypukły $S$ jest sumą skończonej liczby trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych równoległych i prostopadłych do prostej $l$ , o rozłącznych wnętrzach. Pole $S$ jest sumą pól tych trójkątów, a pole $W$ (rzutu $S$ na $\pi$ ) jest sumą pól rzutów poszczególnych trójkątów (rysunek 8). Pole rzutu każdego z tych trójkątów równa się polu trójkąta pomnożonemu przez ten sam współczynnik równy $|\overrightarrow{n} \cdot\overrightarrow{w}|$ i przez zsumowanie otrzymujemy dowodzony wzór (1).

Przystępujemy do dowodu tezy zadania. Niech

$ \overrightarrow{v} = P_1 \overrightarrow{n_1} + \ldots +P_k \overrightarrow{n_k}. $

Mamy dowieść, że $\overrightarrow{v}$ jest wektorem zerowym.

Wybierzmy w przestrzeni dowolny wektor $\overrightarrow{w}$ długości $1$ . Niech $\pi$ będzie dowolną płaszczyzną prostopadłą do wektora $\overrightarrow{w}$ . Rzut prostokątny rozważanego wielościanu na płaszczyznę $\pi$ jest wielokątem wypukłym $W$ . Rzut dowolnej ściany $S_i$ jest wielokątem wypukłym $W_i$ (zdegenerowanym do odcinka, jeśli $\overrightarrow{n_i} \bot \overrightarrow{w}$ ).

Rozbijamy zbiór wskaźników $\{1, \ldots, k\}$ na trzy podzbiory:

$ I_+ = \{i : \overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} > 0\},\quad I_- = \{i : \overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} < 0\}, $

$ I_0 = \{i : \overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} = 0\}. $

(Patrząc na wielościan z zewnątrz, w kierunku wektora $\overrightarrow{w}$ , widzimy ściany $S_i$ o numerach $i \in I_-$ , a nie widzimy ścian o numerach $i \in I_+$ ) (rysunek 9). Rzuty ścian o numerach $i \in I_+ \cup I_0$ nie mają wspólnych punktów wewnętrznych i wypełniają cały wielokąt $W$ . To samo można powiedzieć o rzutach ścian o numerach $i \in I_- \cup I_0$ . Zatem

$ \textrm{pole} \ W= \sum_{i \in I_+ \cup I_0} \textrm{pole} W_i = \sum_{i \in I_+} \textrm{pole} \ W_i $

i jednocześnie

$ \textrm{pole} \ W= \sum_{i \in I_- \cup I_0} \textrm{pole} W_i = \sum_{i \in I_-} \textrm{pole} \ W_i $

Zauważmy teraz, że w myśl wzoru (1),

$ \textrm{pole}\ W_i = P_i \cdot |\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} | = \left\{\begin{array}{ccl} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) & \textrm{dla} & i \in I_+\\ 0 & \textrm{dla} & i \in I_0\\ -P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) & \textrm{dla} & i \in I_- \end{array}\right. $

Wobec tego

$ \begin{split} \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} & = \left( \sum_{i=1}^k P_i \overrightarrow{n_i} \right) \cdot \overrightarrow{w} = \sum_{i=1}^k P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) = \\ & = \sum_{i \in I_+} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w})+ \sum_{i \in I_-} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) +\sum_{i \in I_0} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) =\\ & = \sum_{i \in I_+} \textrm{pole} W_i - \sum_{i \in I_-} \textrm{pole} W_i +0 =\textrm{pole} W-\textrm{pole} W = 0. \end{split} $

Wektor $\overrightarrow{w}$ był wybrany dowolnie. Wykazaliśmy w ten sposób, że wektor $\overrightarrow{v}$ jest prostopadły do dowolnego wektora o długości $1$ . Jest więc wektorem zerowym.