XXXIX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXIX OM, 1987-1988

Etap:

III

Niech $W$ będzie wielokątem (niekoniecznie wypukłym) mającym środek symetrii. Udowodnić, że istnieje taki równoległobok zawierający $W$ , że środki boków tego równoległoboku należą do brzegu $W$ .

Rozwiązanie

Spośród wszystkich trójkątów $OAB$ , gdzie $A$ , $B$ są wierzchołkami wielokąta $W$ , a $O$ - jego środkiem symetrii, wybierzmy trójkąt o maksymalnym polu (są co najmniej cztery takie trójkąty, a może ich być więcej; wybieramy którykolwiek). Niech $OMN$ będzie wybranym trójkątem i niech $M'$ , $N'$ będą wierzchołkami wielokąta $W$ symetrycznymi (odpowiednio) do $M$ , $N$ względem $O$ . Przez punkty $M$ i $M'$ prowadzimy proste $m$ i $m'$ równoległe do $NN'$ ; przez punkty $N$ i $N'$ prowadzimy proste $n$ i $n'$ równoległe do $MM'$ (rysunek 10).

Z maksymalności pola trójkąta $OMN$ wynika, że żaden wierzchołek wielokąta $W$ nic może leżeć dalej od prostej $MM'$ niż punkt $N$ , ani też dalej od prostej $NN'$ niż punkt $M$ . Zatem wszystkie wierzchołki leżą w obrębie równoległoboku $R$ utworzonego przez proste $m$ , $m'$ , $n$ , $n'$ , a wobec tego $W \subset R$ . Środkami boków $R$ są punkty $M$ , $N$ , $M'$ , $N'$ , wierzchołki wielokąta. $R$ jest więc szukanym równoległobokiem.