XXXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $d$ będzie liczbą całkowitą dodatnią, a $f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R}$ taką funkcją ciągłą, że $f(0) = f(d)$ . Udowodnić, że istnieje $x \in \langle 0; d-1\rangle$ takie, że $f{x) = -f(x + 1)$ .

Rozwiązanie

Rozpatrujemy funkcję $g(x) = f(x+1)-f(x)$ określoną i ciągłą w przedziale $\langle 0; d-1 \rangle$ . Suma

$ \begin{split} g(0) + & \ldots +g(d-1) = \\ & = (f(1)-f(0))+ \ldots + (f(d)-f(d-1)) = \\ & = f(d)-f(0) \end{split} $

z założenia jest zerem, a więc albo wszystkie jej składniki są równe zeru, albo pewne dwa składniki są różnych znaków. W każdym razie istnieją liczby całkowite $a, b \in \langle 0; d-1 \rangle$ takie, że $g(a) \leq 0 \leq g(b)$ . Z ciągłości funkcji $g$ wynika, że w pewnym punkcie $x_0$ należącym do przedziału o końcach $a$ , $b$ przyjmuje ona wartość $0$ (własność Darboux). Równość $g(x_0) = 0$ jest zaś równoważna temu, że $f(x_0) = f(x_0+1)$ . Znaleźliśmy więc punkt $x_0 \in \langle 0; d-1 \rangle$ , o który chodziło w zadaniu.

Uwaga: Nie jest trudno pokazać, że podane twierdzenie nie jest prawdziwe dla żadnej liczby $d > 1$ , która nie jest całkowita. Wystarczy wziąć dowolną funkcję $h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ okresową o okresie $1$ , ciągłą i taką, że $h(0) = 0$ , $h(d) = d$ , i przyjąć $f(x) = h(x)-x$ . Tak określona funkcja spełnia warunek $f(0) = f(d)$ , ale nie spełnia równości $f(x) = f (x +1)$ dla żadnego $x$ ; równość taka bowiem oznaczałaby, że $h(x+1) = h(x) + 1$ , co jest sprzeczne z założeniem okresowości funkcji $h$ .