LIX OM - II -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ .

Rozwiązanie

Ciąg pięciu kolejnych liczb całkowitych -1, 0, 1, 2, 3 spełnia warunki zadania: istotnie, mamy

$ -1=(-1)^3 +2\cdot 0^2,\; 0=0^3 +2\cdot 0^2,\; 1=1^3 +2\cdot 0^2,\; 2=0^3 +2\cdot 1^2,\; 3=1^3 +2\cdot 1^2. $

Z drugiej strony, wśród dowolnych sześciu kolejnych liczb całkowitych istnieje liczba, powiedzmy
$m$ , która daje resztę 4 lub resztę 6 z dzielenia przez 8. Liczba $m$ jest parzysta; gdyby więc istniało przedstawienie
w postaci $m = x^3 +2y^2$ dla pewnych liczb całkowitych $x, y$ , to liczba $x$ byłaby parzysta. Wówczas jednak
uzyskalibyśmy podzielność $8|x^3$ i w efekcie liczby $m$ i $2y^2$ dawałyby tę samą resztę (4 lub 6) z dzielenia przez 8.
Wobec tego liczba $y^2$ dawałaby resztę 2 lub 3 z dzielenia przez 4. Jest to niemożliwe: równości