LIX OM - II -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ spełnione są zależności

$ \measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\ \measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle AEC. $

Odcinki $BD$ i $CE$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $AS$ i $CD$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Z równości

$ \measuredangle ABD = \measuredangle ACE oraz \measuredangle ADB = \measuredangle AEC $

wynika (rys. 1), że trójkąty $BAD$ i $CAE$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Podobieństwo tych trójkątów
pozwala wnioskować, że

$ \measuredangle BAC = \measuredangle DAE \text{ oraz } \frac{BA}{DA}= \frac{CA}{EA} $

Zależności te dowodzą, że trójkąty $BAC$ i $DAE$ są podobne (cecha bok-kąt-bok). W konsekwencji otrzymujemy

$ (1) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle ADE = \measuredangle ADC. $

Ponadto prawdziwa jest zależność

$ \measuredangle ACB = \measuredangle ACD $

która w połączeniu z równością (1) implikuje, że trójkąty $ABC$ i $ADC$ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
Mają one jednak wspólny odpowiedni bok $AC$ . Wobec tego trójkąty te są przystające i symetryczne względem prostej $AC$ .
Stąd wniosek, że proste $AC$ i $BD$ są prostopadłe.

Analogicznie dowodzimy, że proste $AD$ i $CE$ są prostopadłe. Zatem $S$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta
$CAD$ . To oznacza, że prosta $AS$ zawiera trzecią wysokość tego trójkąta, czyli jest prostopadła do prostej $CD$ .