XXXVIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

Wielomian $P(x) = a_0+a_1x+ \ldots +a_nx_n^n$ spełnia warunki $P(1) = 0$ oraz $P(x) \geq 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$ . Dowieść, że

$ a_n+2a_{n-1}+ \ldots +(n+1)a_0 = 0. $

Rozwiązanie

Wielomian $P$ ma w punkcie $x = 1$ minimum. Zatem $P'(1) = 0$ . Mamy więc równości

$ a_0+a_1+ \ldots +a_{n-1}+a_n = P(1) = 0, $

$ a_1+2a_2+ \ldots + (n-1)a_{n-1}+na_n = P'(1) = 0. $

Mnożąc pierwszą z nich stronami przez $n+1$ i odejmując drugą dostajemy

$ (n+1)a_0+na_1+ \ldots +2_a{n-1}+a_n = 0. $