XXXVIII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by liczby dodatnie $a, b, c$ były długościami boków pewnego trójkąta jest, by spełniały one nierówność $|a—b| < c < |a+b|$ . Sformułować i udowodnić analogiczne warunki konieczne i wystarczające na to, by trzy liczby dodatnie były długościami:

a) wysokości pewnego trójkąta,

b) środkowych pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że liczby $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ są długościami wysokości pewnego trójkąta. Niech $a$ , $b$ , $c$ będą długościami boków tego trójkąta ( $h_a$ — wysokość opuszczona na bok o długości $a$ itd.), a $S$ - jego polem. Z równości $2S = ah_a= bh_b = ch_c$ wynika, że liczby $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ są - z dokładnością do czynnika $2S$ - odwrotnościami długości boków.

Skoro więc $|a-b|<c<a+b$ , to także

$ (1) \qquad \left| \frac{1}{h_a} -\frac{1}{h_b} \right| < \frac{1}{h_c} < \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} $

Na odwrót, jeśli trzy liczby dodatnie $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ spełniają nierówność podwójną (1) , to istnieje trójkąt $T'$ o bokach długości $a' = 1/h_a$ , $b' = 1/h_b$ , $c' = 1/h_c$ . Oznaczając przez $h'_a$ , $h'_b$ , $h'_c$ długości wysokości trójkąta $T'$ , a przez $S'$ jego pole widzimy, że

$ h'_a = 2S'/a' = 2 S'h_a,\quad h'_b = 2 S'h_b, \quad h'c = 2 S'h_c. $

Trójkąt $T$ jest podobny do $T'$ w skali $1/2 S'$ ma więc wysokości o długościach $h_a$ , $h_b$ , $h_c$ .

Zatem warunek (1) jest konieczny i dostateczny na to, by liczby $h_a, h_b, h_c > 0$ były długościami wysokości pewnego trójkąta.
b) Załóżmy, że liczby $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ są długościami środkowych pewnego trójkąta $ABC$ , poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ . Niech $|BC| = a$ , $|CA| = b$ , $|AB| = c$ i niech $O$ będzie punktem przecięcia środkowych. Oznaczmy przez $M$ środek boku $AB$ , a przez $N$ - punkt symetryczny do $O$ względem punktu $M$ . Czworokąt $OANB$ jest równoległobokiem (rysunek 1), a więc trójkąt $OAN$ ma boki o długościach

$ |OA| = \frac{2}{3} m_a, \quad |AN| = |OB| = \frac{2}{3}m_b, \quad |NO| = 2|OM| = \frac{2}{3} m_c. $

Wobec tego trójkąt podobny do $OAN$ w skali $3/2$ ma boki o długościach $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ , skąd wynika, że liczby te muszą spełniać warunek

$ (2) \qquad |m_a -m_b| <m_c< m_a+m_b. $

Na odwrót, jeśli trzy liczby dodatnie $m_a$ , $m_b$ , $m_c$ spełniają ten warunek, to istnieje trójkąt $OKL$ , w którym $|KL| = m_a$ , $|LO| = m_b$ , $|OK| = m_c$ . Oznaczmy przez $P$ i $Q$ punkty symetryczne do $K$ i $L$ względem punktu $O$ , po czym uzupełnijmy trójkąty $OLP$ i $OQK$ do równoległoboków $OLUP$ , $OQVK$ . Powstaje sześciokąt $KLUPQV$ zbudowany z sześciu trójkątów przystających do $OKL$ (rysunek 2).

Weźmy pod uwagę trójkąt $UQK$ . Oznaczmy środki jego boków $QK$ , $KU$ , $UQ$ odpowiednio przez $X$ , $Y$ , $Z$ ; są to jednocześnie środki odcinków $OV$ , $OL$ , $OP$ . Długości środkowych trójkąta $UQK$ wynoszą