XXXVIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLVIII OM, 1996-1997

Etap:

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

$ 3^n+88=k^2. $

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby naturalne $n$ , $k$ spełniają dane równanie. Dla $n = 1$ odpowiednie $k$ nie istnieje; zatem $n > 1$ .

Lewa strona równania jest liczbą nieparzystą, więc i liczba k musi być nieparzysta.

Niech $m = [n/2]$ (część całkowita liczby $m/2$ ). Tak więc $n = 2m+r$ , gdzie $m > 1$ , a $r = 0$ lub $r = 1$ w zależności od tego, czy $n$ jest liczbą parzystą, czy nie. Rozważane równanie przekształcamy następująco:

$ k^2-3^{2m}3^r=88, $

$ k^2-3^{2m}+3^{2m}(1-3^r)=88, $

$ (k-3^m)(k+3^m)=88-3^{2m}(1-3^r). $

W ostatniej równości lewa strona dzieli się przez $4$ , jako iloczyn dwóch liczb parzystych. Zatem po prawej stronie składnik $3^{2m}(1-3^r)$ musi dzielić się przez $4$ , a to zachodzi tylko, gdy $r = 0$ . Stąd $n = 2m$ i równanie przybiera postać

$ (k^2-3^m)(k+3^m) = 88. $

Otrzymaliśmy rozkład liczby $88$ na iloczyn dwóch czynników parzystych. Istnieją dwa takie rozkłady: $88 = 2 \cdot 44$ i $88 = 4 \cdot 22$ . Różnica czynników ma być jednak liczbą postaci $2 \cdot 3^m$ . To eliminuje pierwszy z tych rozkładów. Ostatecznie więc musi być

$ k-3^m = 4, \quad k+3^m = 22, $

skąd

$ k = 13, \quad m = 2 (\text{czyli }n = 4). $

Para $n = 4$ , $k = 13$ jest rozwiązaniem danego równania.