XXXVIII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

Dane są liczby rzeczywiste nieujemne $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $x_1, x_2, \ldots , x_n$ .
Przyjmujemy $a = \sum_{i=1}^n a_i$ , $c = \sum_{i=1}^n a_ix_i$ . Dowieść, że

$ \sqrt{a^2+c^2} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{1+x_i^2} \leq a+c $

Rozwiązanie

Sposób I

Nierówność $\sqrt{1+x^2} \leq 1+x$ jest spełniona dla wszystkich $x > 0$ (sprawdzenie przez podniesienie do kwadratu, która to operacja, wykonywana w obrębie liczb nieujemnych, daje w wyniku nierówność równoważną wyjściowej). Gdy podstawimy $x = x_i$ , pomnożymy stronami przez $a_i$ ( $i = 1, \ldots , n$ ) i przesumujemy, dostaniemy prawą z dowodzonych nierówności. Pozostaje do dowodu lewa nierówność:

$ (1) \qquad \sqrt{a^2+c^2}\leq \sum_{i=1}^{n}a_i \sqrt{1+x^2_i}. $

Pisząc $c_i = a_ix_i$ przeprowadzamy nierówność (1) do postaci równoważnej:

$ (2) \qquad \sqrt{a^2+c^2} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{a_i+c_i}. $

Oznaczmy lewą i prawą stronę (2) przez $L$ i $P$ . Przekształcamy:

$ \begin{split} L^2 & = \left( \sum_i a_i \right)^2 + \left( \sum_i c_i \right)^2 = \\ & = \sum_i a_i^2 + 2 \sum_{i<j} a_ia_j + \sum_i c_i^2 + 2\sum_{i<j} c_ic_j,\\ P^2 & = \sum_i \left( a_i^2 + c_i^2 \right) + 2 \sum_{i<j} \sqrt{\left( a_i^2 + c_i^2 \right)\left( a_j^2 + c_j^2 \right)}, \end{split} $

skąd

$ P^2-L^2 = 2 \sum_{i<j} (\sqrt{(a_i^2+c_i^2)(a_j^2+c_j^2)}-a_ia_j-c_ic_j). $

Ponieważ $\sqrt{(s^2+t^2)(u^2+v^2)} \geq su+tv$ dla każdej czwórki liczb nieujemnych $s$ , $t$ , $u$ , $v$ (sprawdzenie przez podniesienie do kwadratu), zatem wszystkie składniki otrzymanej sumy są nieujemne. Wobec tego $L^2 \leq P^2$ , a stąd $L \leq P$ (jako, że $L, P \geq 0$ ).

Sposób II

Nierówność (2) orzeka po prostu, że suma długości $n$ wektorów (o współrzędnych $a_i$ , $c_i$ ) nie jest mniejsza od długości wektora będącego ich sumą. Jest to uogólniona nierówność trójkąta, wynikająca przez natychmiastową indukcję ze zwykłej nierówności trójkąta (przypadek $n = 2$ ).