Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

LIX OM - II -Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

II

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ , określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość

$<br /> (1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x.<br />$

Rozwiązanie

Oznaczmy $c = f(0)$ . Podstawiając $x = y = 0$ w równości (1) otrzymujemy zależność $f(c)= f(f(0)) = 2f(0) = 2c$ . Następnie
kładąc $x =0$ i $y = c$ stwierdzamy, że

$<br /> c = f(0) = f(0)+f(f(c)-c)+0 = c +f(2c-c)= c+f(c)=3c.<br />$

Wynika stąd, że $c = 0$ , czyli $f(0) = 0$ .

Przyjmując teraz w warunku (1) wartość $x = 0$ widzimy, że

$<br /> (2) \qquad f(-y)= f(f(y)) \text{ dla każdej liczby rzeczywistej } y.<br />$

Podstawmy z kolei $y = f(x)$ w równości (1). Wówczas na mocy własności (2) dla dowolnej wartości $x$ dostajemy zależność

$<br /> \begin{split}<br /> 0 &= f(0) = f(f(x)-f(x)) = f(x)+f(f(f(x))-f(-x))+x = \\<br /> &= f(x)+f(f(-x)-f(-x))+x = f(x)+f(0)+x = f(x)+x.<br /> \end{split}<br />$

Stąd $f(x)=-x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i pozostaje bezpośrednio sprawdzić, że funkcja dana tym wzorem
istotnie ma żądane własności.

Odpowiedź: Jedyną funkcją spełniającą warunki zadania jest $f(x)= -x$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/75