XXXVIII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

W pięciokącie wypukłym $KLMNP$ prowadzimy przekątne, które przecinając się wyznaczają rozłączne odcinki: na przekątnej $KM$ w kolejności od $K$ do $M$ odcinki o długościach $a_1, b_1, c_1$ ; podobnie $a_2, b_2, c_2$ na przekątnej $LN$ , $a_3, b_3, c_3$ na przekątnej $MP$ , $a_4, b_4, c_4$ na przekątnej $NK$ , $a_5, b_5, c_5$ na przekątnej $PL$ . Dowieść, że

$ \prod_{i=1}^5 \frac{c_i}{b_i+c_i} = \prod_{i=1}^5 \frac{a_i}{a_i+b_i} $

Rozwiązanie

Zmieniamy oznaczenie wierzchołków $L$ , $M$ , $N$ , $P$ , $K$ odpowiednio na $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , $A_4$ , $A_5$ . Wprowadzamy dalsze oznaczenia (rysunek 9):

$ B_i = \textrm{punkt przecięcia przekątnych $A_{i-2}A_{i+1}$ i $A_{i-1}A_{i+2}$}, $

$ \phi_i = |\measuredangle A_{i-2}B_iB_{i+1} | = |\measuredangle A_{i-2}B_iB_{i-1} |. $

$ \psi_i=|\measuredangle A_{i-2}A_iA_{i+2} | $

dla $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ; dodawanie $i\pm 1$ , $i\pm 2$ w indeksach należy wszędzie rozumieć modulo $5$ .

Wówczas

$ a_i = |A_{i-1}B_{i+2}|, \quad b_i = |B_{i+2}+B_{i-2}|, \quad c_i = |B_{i-2}A_{i+1}|. $

Ze wzoru sinusów zastosowanego do trójkątów $B_{i-2}A_iB_{i+2}$ otrzymujemy (rysunek 10):

$ (1) \qquad \frac{a_{i+1}}{\sin \phi_{i+2}} = \frac{c_{i-1}}{\sin \phi_{i-2}} \quad \textrm{dla } i= 1, 2, 3, 4, 5. $

Z tego samego wzoru zastosowanego do trójkątów $A_{i-1}B_iA_{i+1}$ mamy

$ (2) \qquad \frac{b_{i-1}+c_{i-2}}{\sin \psi_{i+1}} = \frac{a_{i+2}+b_{i+2}}{\sin \psi_{i-1}} \quad \textrm{dla } i= 1, 2, 3, 4, 5. $

Mnożąc stronami pięć równości (1) oraz pięć równości (2) dostajemy

$ \prod_{i=1}^5 a_i = \prod_{i=1}^5 c_i \quad \textrm{oraz} \quad \prod_{i=1}^5 (b_i+c_i)=\prod_{i=1}^5 (a_i+b_i) $

skąd natychmiast wynika teza zadania.