XXXVIII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

Udowodnić, że kulę można oświetlić czterema punktowymi źródłami światła umieszczonymi poza nią, a nie można oświetlić trzema.

Rozwiązanie

Rozumowanie będzie oparte na spostrzeżeniu, że mniejszą z dwóch czasz, na które dzieli sferę dowolna płaszczyzna przecinająca wnętrze kuli, ale nie przechodząca przez jej środek, można oświetlić pojedynczym punktowym źródłem światła umieszczonym poza kulą; nie może natomiast takie źródło oświetlić całej półsfery.

Wpisujemy w kulę czworościan tak, by środek kuli znalazł się w jego wnętrzu. Niech $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ będą ścianami tego czworościanu. Płaszczyzna ściany $S_i$ dzieli sferę na dwie czasze; mniejszą z nich oznaczmy przez $C_i$ ( $i = 1, 2, 3, 4$ ). Zbiory $C_i$ pokrywają całą powierzchnię kuli; jeśli bowiem $P$ jest dowolnym punktem na powierzchni kuli, to odcinek łączący $P$ ze środkiem kuli przecina którąś ze ścian $S_i$ i wówczas $P$ należy do odpowiedniej czaszy $C_i$ . Jak zauważyliśmy, każdą z czasz $C_i$ można oświetlić punktowym źródłem światła. Zatem cztery źródła wystarczą do oświetlenia całej kuli.

Aby pokazać, że trzy takie źródła nie wystarczą, zauważmy, że każdy łuk koła wielkiego zawarty w obszarze oświetlonym przez pojedyncze źródło światła jest krótszy od półokręgu. Wynika stąd, że do oświetlenia każdego koła wielkiego konieczne są co najmniej trzy punktowe źródła światła poza kulą. Przypuśćmy teraz, że kula jest oświetlona przez trzy takie źródła $A$ , $B$ , $C$ . Istnieje koło wielkie leżące poza zasięgiem światła z punktu $A$ . Całe to koło jest więc oświetlone z punktów $B$ i $C$ , wbrew poprzedniej konkluzji. Dowodzi to drugiej części tezy zadania.