XXXVIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

Z urny zawierającej jedną kulę oznaczoną numerem 1, dwie kule oznaczone numerem 2, ..., $n$ kul oznaczonych numerem $n$ wyciągamy bez zwracania dwie kule. Przyjmujemy, że wyciągnięcie każdej kuli z urny jest jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie wyciągnięte kule mają ten sam numer.

Rozwiązanie

Aby treść zadania miała sens, trzeba przyjąć, że $n \geq 2$ .

Razem w urnie jest $N = 1+2+ ... +n = n(n+1)/2$ kul. Dwie kule można wybrać spośród $N$ kul na $q$ sposobów, gdzie

$ (1) \qquad \begin{split} q= \binom{N}{2}&=\frac{1}{2}N(N-1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{n^2+n-2}{2}=\\ &=\frac{1}{8}n(n+1)(n-1)(n+2). \end{split} $

Ustalmy $k \in \{2, \ldots,n\}$ . Spośród $k$ kul oznaczonych numerem $k$ możemy wybrać parę kul na $\binom{k}{2}$ sposobów. Łączna liczba możliwości wyboru pary kul o jednakowym numerze (spośród wszystkich $N$ kul) wynosi

$ (2) \qquad \sum{k=2}{n} \binom{k}{2}=\binom{n+1}{3}=\frac{1}{6}(n+1)n(n-1). $

A oto indukcyjny dowód wzoru (2): wzór jest słuszny dla $n = 2$ ; zakładając jego prawdziwość dla pewnego $n \geq 2$ mamy dla $n+1$

$ \sum_{k=2}^{n+1} \binom{k}{2} = \sum_{k=2}^{n} \binom{k}{2}+\binom{n+1}{2}=\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{2}=\binom{n+2}{3}; $

wzór (2) jest więc udowodniony.
Szukane prawdopodobieństwo jest ilorazem znalezionej liczby (wzór(2)) przez $q$ (wzór (1)), czyli równa się $\dfrac{4}{3(n+2)}$ .