XXXVIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $a, b$ , dla których wielomiany $x^4 + 2ax^2 + 4bx + a^2$ i $x^3 + ax - b$ mają dwa różne wspólne pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Oznaczmy rozważane wielomiany przez $P$ i $Q$ :

$ (1) \qquad P(x) = x^4+2ax^2+4bx+a^2, \quad Q(x) = x^3+ax+b. $

Załóżmy, że wielomiany $P$ i $Q$ mają wspólne pierwiastki rzeczywiste $x_1$ , $x_2$ ( $x_1\neq x_2$ ). Liczby $x_1$ $x_2$ są wówczas także pierwiastkami wielomianu

$ T(x) = P(x)-xQ(x) = ax^2+3bx+a^2. $

Stąd $a \neq 0$ i $\Delta = 9b^2--4a^3 > 0$ .
Zgodnie z wzorami Viete'a

$ x_1+x_2=-\frac{3b}{a},\quad x_1x_2=a. $

Ponieważ $Q(x_1) = Q(x_2) = 0$ , a $x_1 \neq x_2$ , zachodzą równości

$ \begin{split} 0&=\frac{Q(x_1)-Q(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{x_1^3-x_2^3+ax_1-ax_2}{x_1-x_2}=\\ &=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a=(x_1+x_2)^2-x_1x_2+a=\left(-\frac{3b}{a} \right)^2 \end{split} $