Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXVIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

II

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $p$ i liczby naturalne $x, y$ , dla których $p^x—y^3 = 1$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $p$ , $x$ , $y$ spełniają podane warunki. Wtedy

$<br /> (1) \qquad p^x =y^3+1 = (y+1)(y^2-y+1).<br />$

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1. $y = 1$ . Wtedy (1) sprowadza się do równania $p^x = 2$ , skąd $p = 2$ , $x = 1$ .

2. $y > 1$ . Wtedy oba czynniki iloczynu po prawej stronie (1) są liczbami większymi od $1$ i jako dzielniki potęgi liczby pierwszej $p$ muszą same być dodatnimi potęgami tejże liczby:

$<br /> (2) \qquad y + 1 = p^k,\quad y^2-y+1 = p^l;\quad k, l > 0, k+l = x.<br />$

Zauważmy teraz, że

$<br /> (3) \qquad p^l=y^2-y+1 = (y+1)(y-2)+3 = p^k(p^k-3)+3.<br />$

Zatem $3$ jest liczbą podzielną przez $p$ , co oznacza, że $p = 3$ . Równanie (3) przybiera postać

$<br /> 3^l = 3^k(3^k-3)+3,<br />$

czyli

$<br /> 3^{l-1} = 3^{2k-1}-3^k+1<br />$

Prawa strona ostatniego równania nie dzieli się przez $3$ . Stąd $l - 1 = 0$ oraz $2k-1=k$ , czyli $k = l = 1$ i na mocy zależności (2) $x = 2$ , $y = 2$ .

Reasumując: rozwiązaniami $(p, x, y)$ danego równania mogą być tylko trojki $(2, 1, 1)$ oraz $(3, 2, 2)$ . Sprawdzenie, że istotnie są to rozwiązania, jest natychmiastowe.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/759