XXXVIII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

III

Dany jest wielomian $W$ o współczynnikach całkowitych nieujemnych. Określamy ciąg liczb $(p_n)$ , gdzie $p_n$ jest sumą cyfr liczby $W(n)$ . Dowieść, że pewna liczba występuje w ciągu $(p_n)$ nieskończenie wiele razy.

Rozwiązanie

Niech $W(x) = a_mx^m + \ldots +a_1x+a_0$ ( $a_i$ - całkowite nieujemne) i niech $q$ będzie liczbą cyfr w zapisie dziesiętnym największej z liczb $a_0, \ldots, a_m$ . Niech $\overline{a_i}$ oznacza $q$ -cyfrowy zapis dziesiętny liczby $a_i$ ; gdy $a_i$ ma mniej niż $q$ cyfr, piszemy na początku zera. Wówczas dla $r > q$ przedstawienie dziesiętne liczby $W(10^r)$ ma postać

$<br /> \overline{a_m\vphantom{b}}\, \overline{b}\, \overline{a_{m-1}\vphantom{b}}\,\overline{b}\ldots \overline{b} \overline{a_1\vphantom{b}}\,\overline{b}\,\overline{a_0\vphantom{b}},<br />$

gdzie $\bar{b}$ jest blokiem złożonym z $r-q$ zer. Suma cyfr każdej z tych liczb równa się sumie cyfr wszystkich współczynników wielomianu $W$ . Jest to więc wspólna wartość wszystkich wyrazów ciągu $(p_n)$ o numerach $n = 10^r$ , $r \leq q$ .