XXXVIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XXXVIII OM, 1986-1987

Etap:

III

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $n$ , dla której liczba $n^2-n+11$ jest iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

Rozwiązanie

Niech $f(x) = x^2-x+11$ . Wartości przyjmowane przez funkcję $f$ dla argumentów całkowitych są liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez $2$ , $3$ , $5$ , $7$ . Przekonujemy się o tym badając reszty z dzielenia $n$ i $f(n)$ przez te cztery początkowe liczby pierwsze:

\begin{tabular}{lllll}
&\multicolumn{4}{l}{Reszty z dzielenia:}\\
&przez 2&przez 3&przez 5&przez 7\\
$n$ &0 1&0 1 2 &0 1 2 3 4&0 1 2 3 4 5 6\\
$f(n)$ &1 1&2 2 1&1 1 3 2 3& 4 4 6 3 2 3 6
\end{tabular}

Zatem dowolna liczba $N$ będąca wartością $f$ dla argumentu naturalnego i spełniająca podany w zadaniu warunek musi mieć postać $N = p_1p_2p_3p_4$ , gdzie czynniki $p_i$ są liczbami pierwszymi $\geq 11$ .

Najmniejsza z takich liczb $N= 11^4$ prowadzi do równania kwadratowego $x^2-x+11=11^4$ o pierwiastkach niewymiernych. Ale już druga z kolei $N = 11^3 \cdot 13$ jest równa wartości $f(132)$ . Funkcja $f$ jest ściśle rosnąca w przedziale $\langle 1/2; \infty)$ wobec czego znaleziona minimalna możliwa wartość $N$ wyznacza minimalną możliwą wartość $n$ . Stąd odpowiedź: $n = 132$ .