Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XXXVII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

I

Niech liczby naturalne $a_n$ i $b_n$ spełniają równość

$<br /> a_n+b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n.<br />$

Obliczyć $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ .

Rozwiązanie

Znajdziemy zależność rekurencyjną między wyrazami ciągów $(a_n)$ i $(b_n)$ . Zauważmy, że

$<br /> \begin{split}<br /> a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{n+1} = (2+ \sqrt{3})^n (2+ \sqrt{3}) =\\<br /> = (a_n+b_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = (2a_n+3b_n)+(a_n+2b_n)\sqrt{3}.<br /> \end{split}<br />$

Stąd $(2a_n+3b_n-a_{n+1}) = (a_{n}+2b_n-b_{n+1})\sqrt{3}$ i z niewymierności liczby $\sqrt{3}$ wnosimy, że w ostatniej równości obie strony muszą być zerami.

Zatem

$<br /> (1) \qquad<br /> \left\{<br /> \begin{array}{rcl}<br /> a_{n+1} &=& 2a_n+3b_n, \\<br /> b_{n+1} &=& a_{n}+2_n<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> \left\{<br /> \begin{array}{rcl}<br /> a_1 &=& 2 \\<br /> b_1 &=& 1.<br /> \end{array}<br /> \right.<br />$

Dalsze rozumowanie poprowadzimy dwoma sposobami.

Sposób I.

Rozważmy ciąg $(y_n)$ o wyrazach $y_n = a_n-b_n\sqrt{3}$ . Zgodnie z (1),

$<br /> \begin{split}<br /> y_{n+1} = (2a_n+3b_n)-(a_n+2b_n)\sqrt{3} = \\<br /> = a_n (2- \sqrt{3})-b_n (2- \sqrt{3}) \sqrt{3}= y_n (2- \sqrt{3}),<br /> \end{split}<br />$

a ponieważ $y_1 = 2 - \sqrt{3}$ , dostajemy wzór

$<br /> (2) \qquad y_n = a_n-b_n \sqrt{3}= (2-\sqrt{3})^n.<br />$

(Do równości (2) można też było dojść badając rozwinięcia $(2 \pm \sqrt{3})^n$ według wzoru dwumianowego Newtona).

Iloraz $a_n/b_n$ przekształcamy do postaci

$<br /> (3) \qquad \frac{a_n}{b_n} = \frac{y_n+b_n\sqrt{3}}{b_n} = \frac{y_n}{b_n} +\sqrt{3}.<br />$

Z wzoru (1) wynika, że $b_n \geq 1$ , a z wzoru (2) - że $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = 0$ . Stąd wobec (3)

$<br /> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{3}.<br />$

Sposób II.

Liczby $a_n$ i $b_n$ można wyrazić jawnymi wzorami

$<br /> a_n = \frac{1}{2} ((2+\sqrt{3})^n+ (2- \sqrt{3} )^n),\ b_n = \frac{1}{2 \sqrt{3}}((2+ \sqrt{3} )^n- (2- \sqrt{3})^n),<br />$

wynikającymi przez łatwą indukcję z rekurencyjnych formuł (1).

Wobec tego

$<br /> \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{3} \cdot \frac{1+(2-\sqrt{3})^n (2+ \sqrt{3})^{-n}}{ 1-(2-\sqrt{3})^n (2+ \sqrt{3})^{-n}},<br />$

a to wyrażenie dąży do $\sqrt{3}$ przy $n \to \infty$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/767