XXXVII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

Dowieść, że jeżeli $x,y,z$ są takimi liczbami nieujemnymi, że $x + y + z = 1$ , to

$ \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} \leq \frac{3}{4}. $

Rozwiązanie

Jeśli $a$ , $b$ , $c$ są dowolnymi liczbami dodatnimi, to na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną

$ (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 3 \sqrt[3]{abc} \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c}}=9. $

Przyjmując $a = x+1$ , $b=y+1$ , $c = z+1$ dostajemy

$ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \geq \frac{9}{(x+1)+(y+1)+(z+1)} = \frac{9}{4}. $

Stąd

$ \begin{split} \frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1} + \frac{z}{z+1} = \left(1-\frac{1}{x+1}\right) + \left(1-\frac{1}{y+1}\right) + \left(1-\frac{1}{z+1}\right) \leq 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \end{split} $