XXXVII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $k$ wielomian

$ (x^4-1)(x^3-x^2+x-1)^k + (x+1)x^{4k-1} $

dzieli się przez $x^5+1$ .

Rozwiązanie

Niech $P_k$ będzie rozważanym wielomianem. Przyjmijmy oznaczenia

$ (1) \qquad p(x) = x^3-x^2+x-1, \ q(x)=x^4-p(x) $

i zauważmy, że

$ \begin{split} & (2) \qquad x^4-1 = (x+1)p(x),\\ & (3) \qquad x^5+1 = (x+1)q(x),\\ & (4) \qquad P_k(x) = (x^4-1)p(x)^k + (x + 1)x^{4k-1},\\ \textrm{czyli}\\ & (5) \qquad P_k(x) = (x+1)(p(x)^{k+1}+x^{4k-1}). \end{split} $

Podzielności wielomianu $P_k$ przez $x^5+1$ :

Indukcja względem $k$ . Dla $k = 1$ mamy

$ \begin{split} P_1(x) = (x^4-1)(x^3-x^2+x-1) + (x+1)x^3 =\\ = x^7-x^6+x^5 + x^2-x+1 = (x^2-x+1)(x^5+1). \end{split} $

Z wzorów (3) i (5) widać, że podzielność $P_k$ przez $x^5 + 1$ jest równoważna podzielności wielomianu $Q_k (x) = p(x)^{k+1}+x^{4k-1}$ przez wielomian $q$ . Wystarczy teraz zauważyć, że