LIX OM - II -Zadanie 5

Dany jest trójkąt , w którym . Punkt leży na boku tego trójkąta, przy czym . Punkt
jest symetryczny do punktu względem prostej . Wykazać, że

Rozwiązanie

Oznaczmy przez punkt symetryczny do względem punktu (rys. 3). Na mocy nierówności punkt
znajduje się wewnątrz odcinka AB.

Ponieważ oraz punkty i są symetryczne względem prostej , więc stosując twierdzenie odwrotne do
twierdzenia Talesa stwierdzamy, że . Stąd w szczególności wynika, że proste i nie są równoległe,
zatem przecinają się one w pewnym punkcie . Ponadto

Dalej, zauważmy, że , punkty , i leżą więc na okręgu o środku w punkcie . Wobec tego otrzymujemy

Łącząc równości (1) i (2) dochodzimy do wniosku, że trójkąty i są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Zatem