XXXVII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

W dany okrąg wpisujemy trójkąt ostrokątny $ABC$ . Niech $A_1, B_1, C_1$ będą odpowiednio środkami łuków $BC, CA, AB$ zawartych w półokręgach. Udowodnić, że pole trójkąta $ABC$ nie jest większe od pola trójkąta $A_1B_1C_1$ oraz, że pola te są równe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt $ABC$ jest równoboczny.

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia:

$O$ i $R$ - środek i długość promienia danego okręgu
$S$ i $S_1$ - pola trójkątów $ABC$ i $A_1B_1C_1$
$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ - miary kątów $\measuredangle A$ , $\measuredangle B$ , $\measuredangle C$ trójkąta $ABC$
$\alpha_1$ , $\beta_1$ , $\gamma_1$ - miary kątów $\measuredangle A_1$ , $\measuredangle B_1$ , $\measuredangle C_1$ trójkąta $A_1B_1C_1$ .

Z założenia ostrokątności trójkąta $ABC$ wynika, że wierzchołki rozważanych trójkątów leżą na okręgu naprzemiennie, w porządku cyklicznym $A$ , $C_1$ , $B$ , $A_1$ , $C$ , $B_1$ , jak to przedstawia rysunek 1. Zatem

$ \begin{split} 2\alpha_1 = 2|\measuredangle & C_1A_1B_1| = |\measuredangle C_1OB_1| = |\measuredangle C_1OA| + |\measuredangle AOB_1| =\\ & = \frac{1}{2} |\measuredangle AOB|+ \frac{1}{2} |\measuredangle COA| = \gamma+\beta. \end{split} $

Analogiczne równości zachodzą dla miar pozostałych kątów. Mamy więc

$ \alpha_1 = \frac{\beta+\gamma}{2},\ \beta_1 = \frac{\gamma+\alpha}{2},\ \gamma_1 = \frac{\alpha+\beta}{2}. $

Dowód nierówności $S_1 \geq S$ (wraz z dyskusją zagadnienia, kiedy nierówność przechodzi w równość):

Korzystamy z wzoru

$ (2) \qquad S = \textrm{pole} (BOC) + \textrm{pole} (COA) + \textrm{pole} (AOB) = \frac{1}{2}R^2 (\sin 2 \alpha +\sin 2 \beta + \sin 2\gamma). $

Analogiczny wzór dla trójkąta $A_1B_1C_1$ przybiera po uwzględnieniu zależności (1) postać

$ (3) \qquad S_1 =\frac{1}{2} R^2(\sin (\beta+\gamma) + \sin (\gamma+\alpha) + \sin (\alpha+\beta)). $

Zauważmy teraz, że

$ \sin 2 \alpha + \sin 2 \beta = 2\sin (\beta+\gamma)cos(\alpha-\beta) \leq 2\sin (\alpha+\beta) = 2\sin \gamma, $

przy czym równość zachodzi tylko, gdy $\alpha= \beta$ . Analogicznie,

$ \begin{split} \sin 2\beta + \sin 2\gamma \leq 2\sin \alpha,\\ \sin 2\gamma + \sin 2 \alpha \leq 2 \sin \beta \end{split} $

(jednoczesna równość tylko dla $\beta = \gamma = \alpha$ ). Dodając stronami te trzy nierówności i mnożąc stronami przez $R^2/4$ dostajemy, z uwagi na (2) i (3), żądaną nierówność $S \leq S_1$ . Koniecznym i dostatecznym warunkiem zachodzenia równości jest $\alpha=\beta= \gamma$ .