XXXVII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XXXVII OM, 1985-1986

Etap:

Udowodnić, że ciąg $(\sin n)$ nie ma granicy.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę ciągi przedziałów otwartych

$ I_k = \left( 2k\pi - \frac{3}{4} \pi;\ 2k \pi - \frac{1}{4} \pi \right),\ J_k = \left( 2k\pi + \frac{1}{4} \pi;\ 2k \pi + \frac{3}{4} \pi \right) $

( $k = 1, 2, 3, \ldots$ ). Długość każdego z nich (równa $\pi/2$ ) jest większa od $1$ . Wobec tego w każdym przedziale $I_k$ leży liczba naturalna $m_k$ (jeśli są dwie, wybierzmy jedną z nich, na przykład mniejszą, i ją oznaczmy przez $m_k$ ). Podobnie w każdym przedziale $J_k$ znajdziemy liczbę naturalną $n_k$ . Określiliśmy w ten sposób dwa rosnące ciągi liczb naturalnych $(m_k)$ i $(n_k)$ . Na każdym przedziale $I_k$ funkcja sinus przyjmuje wartości mniejsze od $-\sqrt{1/2}$ , a na każdym przedziale $J_k$ wartości większe od $\sqrt{1/2}$ . Zatem

$ \sin n_k-\sin m_k > \sqrt{\frac{1}{2}} - \left(- \sqrt{\frac{1}{2}} \right)= \sqrt{2} \ \textrm{dla} \ k = 1, 2, 3, \ldots, $

skąd wynika, że nie istnieje granica ciągu $(\sin n)$ .